Strona 1 z 1

Dowód z logarytmami

: 18 cze 2021, o 18:57
autor: kondzio34
Jak to udowodnić?
Pokaż, że jedyną liczbą naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której obie liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne, jest liczba \(\displaystyle{ n = 1}\).

Re: Dowód z logarytmami

: 18 cze 2021, o 21:41
autor: JHN
Ja bym zaczął:
Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_2 n=p\\\log_3 n=q\ne0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są wymierne.
Wtedy
\(\displaystyle{ q={\log_2n\over\log_23}={p\over\log_23}\Rightarrow \log_23={p\over q}}\)
Wobec niewymierności \(\displaystyle{ \log_23}\) - sprzeczność
Pozostanie sprawdzenie \(\displaystyle{ q=0}\)...

Pozdrawiam