Strona 1 z 1
suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 11:12
autor: rObO87
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} }\)
Na pewno szereg jest zbieżny, bo dąży do 0. Pytanie tylko jak wyznaczyć sumę. Ani to ciąg geometryczny, ani arytmetyczny.
Re: suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 12:30
autor: Jan Kraszewski
rObO87 pisze: 17 cze 2021, o 11:12Na pewno szereg jest zbieżny, bo dąży do 0.
CO dąży do zera?
JK
Re: suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 12:34
autor: rObO87
Mianownik szybciej narasta, niż licznik. Więc cały ułamek będzie coraz mniejszy.
Re: suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 12:57
autor: Dasio11
Abstrahując od tego, że to niepoprawny argument za zbieżnością szeregu, jego sumę można wyznaczyć metodą
zaburzania sum.
Re: suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 14:18
autor: Jan Kraszewski
rObO87 pisze: 17 cze 2021, o 12:34
Mianownik szybciej narasta, niż licznik. Więc cały ułamek będzie coraz mniejszy.
W szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }\) też mianownik narasta szybciej niż licznik, a zbieżny nie jest... Mylisz warunek konieczny zbieżności szerego z warunkiem dostatecznym.
JK
Re: suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 14:20
autor: rObO87
Dasio11 pisze: 17 cze 2021, o 12:57
Abstrahując od tego, że to niepoprawny argument za zbieżnością szeregu,
No to popatrzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} +\frac{2}{25} + \frac{3}{125} + ... = 0.2 + 0.08 + 0.024 + ...}\)
Widać, że kolejne wyrazy są coraz mniejsze?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}}\)
Dodano po 42 sekundach:
Jan Kraszewski pisze: 17 cze 2021, o 14:18
rObO87 pisze: 17 cze 2021, o 12:34
Mianownik szybciej narasta, niż licznik. Więc cały ułamek będzie coraz mniejszy.
W szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }\) też mianownik narasta szybciej niż licznik, a zbieżny nie jest... Mylisz warunek konieczny zbieżności szerego z warunkiem dostatecznym.
JK
Racja. Czuję to.
Re: suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 14:39
autor: Dasio11
rObO87 pisze: 17 cze 2021, o 14:20\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}}\)
Tak, o to chodzi.
Re: suma szeregu z potęgą
: 17 cze 2021, o 15:15
autor: rObO87
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n+1}}+\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{5^{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}}+ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
Mamy ciąg geometryczny z prawej:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{5^{n}}}\)
\(\displaystyle{ q = \frac{1}{5} }\)
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{1}{5} }\)
\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{a_{1}}{1-q} = \frac{ \frac{1}{5} }{1- \frac{1}{5} }= \frac{1}{4} }\)
Wracamy...
\(\displaystyle{ 4 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{5^{n}} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} }\)
A tyle wynosi poprawna odpowiedź
