Matematyka.pl

Cześć, przygotowuję się właśnie do egzaminu z analizy funkcjonalnej i w moje ręce wpadło takie zadanie " Wyznacz widmo operatora określonego na przestrzeni \(\displaystyle{ l_{2}(C)}\) zadany przez \(\displaystyle{ T ( \sum_{n=1}^{\infty} x_ne_n )= \sum_{n=1}^{\infty}x_{2n}e_n}\)".
W podpowiedzi jest informacja, żeby rozważyć wektory \(\displaystyle{ v(\lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^ne_{2^n}}\).
Niestety nie bardzo wiem co z tym zrobić. Myślałam o tym, żeby wyznaczyć zbiór wartości własnych, ale nie do końca mi to wyszło i nie wiem co dalej z tym zrobić.
Będę bardzo wdzięczna za wszelką pomoc.

Łatwo sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ v}\) zdefiniowanego w ten sposób zachodzi \(\displaystyle{ T(v) = \lambda v}\), zatem \(\displaystyle{ \lambda \in \sigma(T)}\). Jako że definicja \(\displaystyle{ v}\) ma sens dla \(\displaystyle{ |\lambda| < 1}\) (bo tylko wtedy \(\displaystyle{ v \in \ell^2}\)), dostajemy \(\displaystyle{ \{ \lambda \in \CC : |\lambda| < 1 \} \subseteq \sigma(T)}\).

Z drugiej strony \(\displaystyle{ \sigma(T)}\) jest domkniętym podzbiorem \(\displaystyle{ \{ \lambda \in \CC : |\lambda| \le \| T \| \}}\). A skoro \(\displaystyle{ \| T \| = 1}\), stąd łatwo wynika, że \(\displaystyle{ \sigma(T) = \{ \lambda \in \CC : |\lambda| \le 1 \}}\).

Bardzo dziękuję za pomoc!