Matematyka.pl

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\), a zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (2,4)}\). Podaj rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=XY}\).
Jak się zabrać za ten iloczyn mając gęstości obu rozkładów?

Dodano po 1 godzinie 2 minutach 27 sekundach:
Dodam, że na lekcjach robiliśmy tylko przypadek gdy szukaliśmy rozkładu zmiennej która powstała przez przekształcenie innej (której rozkład znaliśmy) przez jakąś funkcje \(\displaystyle{ g(X)}\). Nie widzę jednak sposobu, żeby to zadanie sprowadzić do takiego przypadku

A czy te zmienne są niezależne?

Nie jest powiedziane w treści zadania, więc możemy założyć że tak

Jeśli te zmienne są niezależne, to wtedy znamy ich rozkład łączny, tzn gęstość spełnia \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)}\). Więc zaczynamy liczyć dystrybuantę

\(\displaystyle{ F_Z(t) = \mathbb{P}(Z \le t) = \mathbb{P}(XY \le t) = \mathbb{P}\left(Y \le \frac{t}{X}\right)}\).

To dzielenie jest ok, bo \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości dodatnie. No dobrze, ale to prawdopodobieństwo po prawej stronie to jest nic innego, jak miara zbioru \(\displaystyle{ \Delta = \left\{ (x,y): y \le \frac{t}{x}, x > 0\right\}}\) względem gęstości rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X,Y)}\), bo zobacz, że:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(Y \le \frac{t}{X}\right) = \mathbb{P}\left((X,Y) \in \Delta\right)}\).

Fajnie, bo znamy gęstość rozkładu łącznego, czyli ostatecznie wychodzi \(\displaystyle{ \int_{\Delta} f_{(X,Y)}(x,y)\mbox{d}x\mbox{d}y = \int_\Delta f_X(x)f_Y(y)\mbox{d}x\mbox{d}y}\). Trzeba podstawić i porachować.

Dzięki wielkie!