Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (X_{k}) }\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych. Zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } X _{n} }\), jeżeli \(\displaystyle{ P(X_{n} = 2 ^{-n}) = P(X_{n} = 0) = \frac{1}{2} }\)

Na zajęciach rozwiązywaliśmy to zadanie w następujący sposób:
\(\displaystyle{ EX_{n} = 2 ^{-n-1} }\)
\(\displaystyle{ VarX _{n} = 2 ^{-2n-1} + 2 ^{-2n-2} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } EX_{n} = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } VarX _{n} = \frac{3}{4} }\)
Zatem szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } X _{n} }\) jest zbieżny prawie na pewno z tw. o dwóch szeregach.

Nie rozumiem skąd bierze się ta wariancja, liczyłem ją dwoma sposobami i wychodzi inny wynik. Czu ktoś mógłby ją rozpisać?

Zgadzam się, wariancja (powinien być minus pomiędzy tymi składnikami), ani suma wariancji (mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{12}}\)) nie jest dobrze policzona.

Inna sprawa, że ten szereg jest zbieżny nie tylko prawie na pewno, ale nawet całkiem na pewno z dość oczywistych powodów.