Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) środkowa \(\displaystyle{ AM}\), dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BL}\) i wysokość \(\displaystyle{ CH}\) przecinają się w jednym punkcie. Czy ten trójkąt musi być równoboczny? Uzasadnij odp.

Wedle moich obliczeń tak być nie musi. Własność powyższa zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest ostry oraz \(\displaystyle{ \ctg \gamma =\ctg \beta +\ctg\frac{\beta}{2}-\tg\beta}\). Dla każdego ostrego kąta \(\displaystyle{ \beta}\) istnieje dokładnie jeden kąt \(\displaystyle{ \gamma(\beta)\in (0,180^{\circ})}\) dla którego zachodzi ta równość. Funkcja obliczająca \(\displaystyle{ \gamma}\) na podstawie \(\displaystyle{ \beta}\) jest rosnąca, a ponadto istnieje pewien kąt graniczny \(\displaystyle{ \beta_0}\) taki, że \(\displaystyle{ \beta_0+\gamma(\beta_0)=180^{\circ}}\). Obliczenia numeryczne wskazują, że \(\displaystyle{ \beta_0\approx 67^{\circ}}\). Wystarczy więc dobrać kąt \(\displaystyle{ \beta\neq 60^{\circ}, \beta <\beta_0 }\) i znaleźć \(\displaystyle{ \gamma}\) spełniające naszą równość. Wtedy dla się utworzyć trójkąt o kątach \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) i trójkąt ten nie będzie równoboczny.