Matematyka.pl

Dane są okręgi \(\displaystyle{ O_1}\) i \(\displaystyle{ O_2}\) rozłączne zewnętrznie. Proste \(\displaystyle{ prAC}\) i \(\displaystyle{ prBD}\) są ich wspólnymi stycznymi zewnętrznymi, przy czym \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) są punktami styczności (rysunek). Odcinek \(\displaystyle{ AD}\) przecina okręgi \(\displaystyle{ O_1}\) i \(\displaystyle{ O_2}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ |AE| = |FD|}\).



Wydaje mi się, że trzeba jakoś skorzystać z własności potęgi punktu względem okręgu, ale nie jestem pewna jak ruszyć z zadaniem.

Wskazówki do dowodu elementarnego (bez potęg punktu względem okręgu):

Z jednokładności okęgów odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe, stąd czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem - wydaje mi się, że dobrze to rozumiem. Ale skąd ta równość kątów?

KaKaKa pisze: ↑9 cze 2021, o 12:17 Z jednokładności okęgów odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe, stąd czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem - wydaje mi się, że dobrze to rozumiem.

Możesz przybliżyć bardziej to rozumowanie?

Ale skąd ta równość kątów?

Wyrysuj środek okręgu i skorzystaj z kilku faktów:
1. Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku.
2. Trójkąt, którego bokami są promienie jest równoramienny.
3. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Możesz przybliżyć bardziej to rozumowanie?

Z jednokładności okręgów odcinki \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ AC}\) są sobie równe i punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) są równoodległe od środka tej jednokładności, skąd wywnioskowałam równoległość odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\).


Już doszłam do rozwiązania tego zadania, bardzo dziękuję za pomoc.

KaKaKa pisze: ↑9 cze 2021, o 15:47 Z jednokładności okręgów odcinki \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ AC}\) są sobie równe i punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) są równoodległe od środka tej jednokładności, skąd wywnioskowałam równoległość odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\).

Jeśli wiemy, że istnieje jednokładność, która przekształca punkt \(\displaystyle{ A}\) na punkt \(\displaystyle{ C}\) i punkt \(\displaystyle{ B}\) na punkt \(\displaystyle{ D}\), to istotnie da się z tego wywnioskować równoległość \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) (twierdzenie odwrotne do Talesa). Jednak skąd wiemy, że taka jednokładność istnieje?

Jeśli się temu bliżej przyjrzeć, to jej istnienie jest w zasadzie równoważne równości \(\displaystyle{ \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}}\) (\(\displaystyle{ O}\) jest punktem przecięcia stycznych) i tym samym równoległości \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Krótko mówiąc mamy tutaj wnioskowanie z tezy (chyba, że masz jakieś inne uzasadnienie istnienia tej jednokładności).