Strona 1 z 1
Czy funkcja jest rozniczkowalna ?
: 8 cze 2021, o 15:48
autor: Kacper_21_04
Czy funkcja jest rozniczkowalna w punkcie x=0 ?
\(\displaystyle{ f(x)=(2x-5) \sqrt[3]{x^2} }\)
Re: Czy funkcja jest rozniczkowalna ?
: 8 cze 2021, o 16:24
autor: Janusz Tracz
Do sprawdzenia jest czy istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{(2h-5) \sqrt[3]{h^2} }{h} }\)
istnieje. Rozważ w tym celu dwa ciągi
\(\displaystyle{ h_n=1/n}\) oraz
\(\displaystyle{ h_n=-1/n}\) i policz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(2h_n-5) \sqrt[3]{h_n^2} }{h_n}. }\)
Następnie skorzystaj z definicji granicy.
Re: Czy funkcja jest rozniczkowalna ?
: 8 cze 2021, o 18:26
autor: matmatmm
Inaczej:
Przypuśćmy, że ta funkcja jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\). Wówczas funkcja o wzorze
\(\displaystyle{ x\mapsto \frac{f(x)}{2x-5}=\sqrt[3]{x^2}}\)
jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ x=0}\) (jako iloraz dwóch funkcji różniczkowalnych w \(\displaystyle{ x=0}\)). Jednak
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=-\infty}\), a \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+}}\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=+\infty}\)