Matematyka.pl

Zbadaj, czy istnieje podana granica. Jeśli tak, oblicz ją. Nie możesz korzystać z reguły d'Hospital'a.
1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to2} \frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2}-7x+10}}\)

Granica wynosi \( \frac{1}{3} \), zapisałem licznik i mianownik w inny sposób i skróciłem \( x-2 \) i podstawiłem \( 2 \). Nie rozumiem tylko zbytnio jak moje "badanie" powinienem zapisać. (bo chyba najpierw powinienem zbadać, a poźniej obliczyć granicę) Wydaje mi się, że nie wystarczy zapisanie przekształceń, tylko prawdopodobnie muszę skorzystać z definicji granicy funkcji, ale zbytnio jej nie rozumiem. Zwłaszcza części z ciągiem, który zbiega do wartości granicy funkcji. Nie jestem też pewien czy z tego powinienem skorzystać. Jak powinno więc wyglądać te badanie?

Najpierw tymi przekształceniami pokazujesz, że jeśli granica istnieje, to wartość może wynieść tylko 1/3. Później badamy granicę modułu różnicy. im x jest bliżej 2 tym granica powinna być mniejsza od pewnego miejsca.

Kartezjusz pisze: 8 cze 2021, o 10:58 Najpierw tymi przekształceniami pokazujesz, że jeśli granica istnieje, to wartość może wynieść tylko 1/3.

Wcale nie. Można bezpośrednio stwierdzić, że granica istnieje i wynosi \(\displaystyle{ 1/3}\).

Później badamy granicę modułu różnicy. im x jest bliżej 2 tym granica powinna być mniejsza od pewnego miejsca.

W związku z tym co napisałem wyżej, nie trzeba już nic więcej badać.


Już wyjaśniam, jak "porządnie" uzasadnić istnienie i wartość takiej granicy:

Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-5)}}\). Przede wszystkim dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ \RR\setminus\{2,5\}}\). W tym miejscu pamiętając o dziedzinie możemy skrócić przez wspólny czynnik \(\displaystyle{ (x-2)}\) i dostajemy, że \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-3}{x-5}}\) dla \(\displaystyle{ x\in\RR\setminus\{2,5\}}\). Pomocniczo wprowadzę sobie funkcję \(\displaystyle{ F}\) o takim samym wzorze co \(\displaystyle{ f}\), ale o innej dziedzinie: \(\displaystyle{ F(x)=\frac{x-3}{x-5}}\) dla \(\displaystyle{ x\in\RR\setminus\{5\}}\). Zauważamy, że funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny i w szczególności w punkcie \(\displaystyle{ 2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) nie jest punktem izolowanym dziedziny funkcji \(\displaystyle{ F}\), ciągłość w tym punkcie jest równoważna istnieniu granicy równej wartości w tym punkcie tzn.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}F(x)=F(2)=\frac{1}{3}}\). Na koniec stwierdzamy, że granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}f(x)}\) także istnieje i wynosi \(\displaystyle{ \lim_{x\to 2}F(x)}\), ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest zawężeniem funkcji \(\displaystyle{ F}\) do zbioru \(\displaystyle{ \RR\setminus\{2,5\}}\), a liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest punktem skupienia tego zbioru.

Ja bym powiedział, że wstępne obliczenia dają nam jedynie kandydata na wynik granicy. Jeśli po drodze nie powołujemy się na nic to takie uzasadnienie istnienia raczej nie jest formalne. Potem badanie granicy modułu różnicy jest moim zdaniem bezcelowe (no chyba, że ten kawałek zrobimy formalnie z definicji, a potem powołamy się na fakt \(\displaystyle{ \lim_{ } x=a \Leftrightarrow \lim_{ } |x-a|=0 }\).) Tu raczej chodzi o to aby ustalić dowolny ciąg \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 2}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\) i pokazać, że

Przy czym wolno nam tu korzystać z całej teorii arytmetyki granic dla ciągów. Więc pozornie wygląda to jak masło maślane bo pokazanie powyższego sprawozda się do policzenia tej granicy ciągu. Tylko na koniec wypada powiedzieć, że z definicji Heinego mamy to co trzeba.