Przyda się więc odwzorowanie odwrotnie do silni. Bezpośrednio takiego nie znam. Ale silnie można zastąpić ogólnie funkcją gamma w taki sposób
\(\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)!}\) zatem Twoja nierówność w kontekście
\(\displaystyle{ \Gamma}\) to
\(\displaystyle{ \Gamma(k+1) \le n \le \Gamma(k+2)}\)
do
\(\displaystyle{ \Gamma}\) też nie ma takiego jawnego odwzorowania odwrotnego ale powiedzmy, że jeśli przymkniemy na to oko i będziemy rozważać jedynie
\(\displaystyle{ n>2}\) to można znaleźć odwzorowanie odwrotne obcięcia
\(\displaystyle{ \Gamma\upharpoonright_{(2, \infty )}}\) zobacz
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+of+gamma%28x%29
. Wtedy
\(\displaystyle{ k+1\le (\Gamma\upharpoonright_{(2, \infty )})^{-1}(n) \le k+2.}\)
Można też spróbować asymptotycznych oszacowań na
\(\displaystyle{ k}\). Wiadomo bowiem, że
\(\displaystyle{ k! \approx {\bigg (}{\frac {k}{e}}{\bigg )}^{k}{\sqrt {2\pi k}}}\) więc jeśli szukamy liczby naturalnej która jest w pewnym sensie blisko
\(\displaystyle{ k!}\) to szukamy takiego
\(\displaystyle{ n}\), że
\(\displaystyle{ n\approx {\bigg (}{\frac {k}{e}}{\bigg )}^{k}{\sqrt {2\pi k}}}\)
z pomocą funkcji W Lamberta to może dać się odwrócić
Kod: Zaznacz cały
https://math.stackexchange.com/questions/430167/is-there-an-inverse-to-stirlings-approximation/461207
.
THE PRINCIPAL INVERSE OF THE GAMMA FUNCTION, MITSURU UCHIYAMA, Volume 140, Number 4, April 2012, Pages 1343–1348 S 0002-9939(2011)110232 Article electronically published on August 3, 2011, Corollary 6
https://www.ams.org/journals/proc/2012-140-04/S0002-9939-2011-11023-2/S0002-9939-2011-11023-2.pdf