Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty a_{k}}\) - zbieżny bezwzględnie szereg i
\( (c_{k})_{k \in \mathbb{N}} \) - zbieżny ciąg w liczbach rzeczywistych

Pokaż za pomocą kryterium porównawczego, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty c_{k} a_{k}}\) jest zbieżny bezwzględnie.

Zbytnio nie wiem od czego tutaj zacząć, bo ciężko jest cokolwiek oszacować, ze względu że nie wiemy nic o monotoniczności ciągów \( a_{k} \) oraz \(c_{k} \).

Wydaje mi się, że trzeba skorzystać z tego, że granica \( a_{k} = 0 \) oraz granica \( c_{k} = c \), nie wiem tylko zbytnio jak.

Za każde wskazówki dziękuję.

Ciąg jest zbieżny, więć jest ograniczony. To wystarczy. Szacuj tak grubo jak tylko możesz - tu nie mamy żadnych subtelności.

czyli wystarczy \( |c_{k} a_{k}| \leq a_{k} \)?
tylko zbytnio nie rozumiem dlaczego to jest poprawne ( o ile jest), bo jeżeli \( c_{k} \) jest ograniczony to wtedy obowiązuje \( |c_{k}| < K \) ale jak to wpływa na te szacownie?

guserd pisze: 5 cze 2021, o 15:21 tylko zbytnio nie rozumiem dlaczego to jest poprawne ( o ile jest),

Nie jest.

guserd pisze: 5 cze 2021, o 15:21 jeżeli \( c_{k} \) jest ograniczony to wtedy obowiązuje \( |c_{k}| < K \) ale jak to wpływa na te szacownie?

Pomyśl jak to zrobić, żeby wpływało.

JK

Wydaje mi się, że już zrozumiałem, powinno być: \( |c_{k} a_{k}| \leq K a_{k} \).

Lepiej, ale to jeszcze nieprawda. Pomyśl o tym, że ciąg \(\displaystyle{ a_k}\) może mieć wyrazy ujemne.

JK

a już rozumiem, ze względu na bezwzględną zbieżność szeregu mamy \( |c_{k}a_{k}| \leq K|a_{k}| \)