Matematyka.pl

Wykazać, że przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \RR^2}\) z określoną w niej metryką (topologią) euklidesową działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe.

Działania te są pewnymi odwzorowaniami:
\(\displaystyle{ +: \RR^2 \times \RR^2 \to \RR^2}\)
\(\displaystyle{ \cdot :\RR \times \RR^2 \to \RR^2}\)

Odwzorowanie \(\displaystyle{ +}\) jest ciągłe z definicji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej kuli (otwartej) w \(\displaystyle{ \RR^2}\) jej przeciwobraz jest iloczynem kartezjańskim dwóch kul, dla metryki i analogicznie ze zbiorami otwartymi w topologii.

Tylko nie bardzo wiem jak to zrobić.

Może napisz dokładnie definicję ciągłości, bo przy takiej jak podałeś dodawanie raczej ciągłe nie jest.

Nie ma podanej konkretnej definicji, profesor w trakcie pokazywania, że taka przestrzeń jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą, powiedział, że ciekawscy mogą sobie sprawdzić tą ciągłość (podobno jest zapewniona przez definicję prz. liniowo-topologicznej).
Ale ciągle używamy tej definicji, do której się odwołuję.

Nie padła na wykładzie, mamy znać to z topologii, spróbuję z pamięci odtworzyć:
Odwzorowanie \(\displaystyle{ f: (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)}\) jest ciągłe, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ V \in \tau_y \; f^{-1}(V) \in \tau_X}\) czyli przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ V}\) należy do topologii określonej na \(\displaystyle{ X}\)

No i nie widzę tej ciągłości, a wstyd zapytać profesora.

Bran pisze: ↑5 cze 2021, o 14:29 Odwzorowanie \(\displaystyle{ f: (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)}\) jest ciągłe, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ V \in \tau_y \; f^{-1}(V) \in \tau_X}\) czyli przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ V}\) należy do topologii określonej na \(\displaystyle{ X}\)

To jest dobra definicja, natomiast nie pokrywa się z tą:

Bran pisze: ↑5 cze 2021, o 13:21 Odwzorowanie \(\displaystyle{ +}\) jest ciągłe z definicji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej kuli (otwartej) w \(\displaystyle{ \RR^2}\) jej przeciwobraz jest iloczynem kartezjańskim dwóch kul, dla metryki i analogicznie ze zbiorami otwartymi w topologii.

ponieważ zbiory otwarte w \(\displaystyle{ \RR^2\times\RR^2}\) to nie tylko iloczyny kartezjańskie dwóch kul, a zbiory otwarte w \(\displaystyle{ \RR^2}\) to nie tylko kule.

Jednak bezpośrednio z definicji może być ciężko to udowodnić. Ja bym dowodził to tak samo jak ciągłość działań w dowolnej przestrzeni unormowanej: Ciągłość dodawania będzie mniej więcej tak (dowód dla dowolnej przestrzeni unormowanej niczym się nie różni).

Ustalmy punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)\in \RR^2\times\RR^2}\), w którym będziemy dowodzić ciągłość. W tym celu policzymy granicę wyrażenia \(\displaystyle{ \|(x,y)-(x_0,y_0)\|}\) przy \(\displaystyle{ (x,y)\to (x_0,y_0)}\).
Tutaj norma jest to jedna z norm produktowych czyli np. \(\displaystyle{ \|(a,b)\|=\|a\|+\|b\|}\). Ważne, że ta norma generuje topologię produktową.
Wtedy \(\displaystyle{ \|(x,y)-(x_0,y_0)\|=\|(x-x_0,y-y_0)\|=\|x-x_0\|+\|y-y_0\|\to 0}\), ponieważ \(\displaystyle{ \|x-x_0\|\to 0}\) oraz \(\displaystyle{ \|y-y_0\|\to 0}\), a to wynika z ciągłości rzutowań.