Matematyka.pl

Krótka historia: Mamy na studiach zajęcia z profesorem, korzystającym z rosyjskich książek. Nie dociera do niego informacja, że jesteśmy grupą, która z matematyką ma styczność tylko dla statystyki, a to co on przedstawia na zajęciach jest dla nas zbyt skomplikowane. Dziekan stwierdził, że to zajęcia na których przedstawia się to co jest badane na wydziale i że profesor nie odstaje tematyką (czyli musicie sobie jakoś poradzić).
Na zaliczenie mamy 2 zadania (pierwsze spróbuję jakoś sam ogarnąć - dowód jądra Dirichleta).

Treść zadania:

Pokazać, że funkcja\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left| x\right| ^{ \frac{1}{9}}}\), należy do \(\displaystyle{ Lip \frac{1}{9}}\).

Teoria którą mam z notatek:

Def. 1
Niech \(\displaystyle{ f \in C_{2 \pi} }\). Modułem ciągłości funkcji f nazywamy funkcję postaci:

Def. 2
Niech \(\displaystyle{ f \in C_{2\pi}, M,\alpha>0}\). Mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełnia warunek Lipschitza z wykładnikiem \(\displaystyle{ \alpha}\) i czynnikiem \(\displaystyle{ M}\), jeżeli Zbiór wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f \in C_{2 \pi}}\) spełniających powyższą nierówność będziemy nazywać klasą Lipschitza \(\displaystyle{ Lip_{M}\alpha}\),
tzn
\(\displaystyle{ Lip_{M} \alpha = \{ f \in C_{2 \pi}: w (f, \delta)_{C_{2 \pi}} \le M \delta^{\alpha}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \delta \in (0, \pi] \} }\).

Ponadto
\(\displaystyle{ Lip \alpha = \bigcup_{M>0} Lip_{M} \alpha = \{ f \in C_{2 \pi}: w(f, \delta)_{C_{2 \pi}} = O (\delta^{\alpha})}\) przy \(\displaystyle{ \delta \rightarrow 0^{+} \} }\)


Będę wdzięczny za rozwiązanie albo chociaż wskazówki jak do czegoś takiego podejść.

Czym jest \(\displaystyle{ C_{2\pi}}\) ?

Z notatek profesora:
\(\displaystyle{ C_{2 \pi}: ||f||_{C_{2 \pi}} = \max_x |f(X)| }\),
Nic więcej o tej klasie nie mam.

Z tego co kojarzę, to jest to rodzaj klasy ciągłości (chyba chodzi o to że jest ciągła co \(\displaystyle{ 2 \pi }\)).
Na początku pomyślałem, że może chodzi po prostu o warunek Holdera, ale nie mam pewności, wolałbym się upewnić, dlatego dodałem na forum takie zadanie.

Wiele też czytam dopiero teraz, ponieważ na początku zaliczenie miało być na podstawie obecności (a ta wiedza do niczego mi się raczej nie przyda w przyszłości - nie planuję zawodów, w której byłaby użyteczna), jednak profesor nagle zmienił zdanie.

Enigmaze pisze: ↑4 cze 2021, o 15:13 Z notatek profesora:
\(\displaystyle{ C_{2 \pi}: ||f||_{C_{2 \pi}} = \max_x |f(X)| }\),
Nic więcej o tej klasie nie mam.

To tutaj jest wzór na normę, ale pytanie czym są elementy klasy \(\displaystyle{ C_{2\pi}}\)? Czyli jaka dziedzina i przeciwdziedzina funkcji w tej klasie?

Z tego co kojarzę, to jest to rodzaj klasy ciągłości (chyba chodzi o to że jest ciągła co \(\displaystyle{ 2 \pi }\)).

Co to niby znaczy "ciągła co \(\displaystyle{ 2\pi}\)"!?

Źle się wyraziłem, chodziło mi o to że jest to klasa funkcji ciągłych na przedziale \(\displaystyle{ [0,2 \pi ]}\), jednak jak wspomniałem nie jestem pewny. Profesor zaczął tego używać przy rozważaniach dot. najlepszych przybliżeń funkcji trygonometrycznych wielomianami, więc wydaje mi się że miało to ułatwić rozważania do odpowiedniego przedziału dziedziny, w której funkcje były nie okresowe (w sensie ograniczaliśmy dziedzinę do 1 okresu funkcji trygonometrycznej).
Dodatkowo znajomy podesłał wskazówkę, którą profesor "dał" do rozwiązania tego zadania: "wartość średniej w rachunku różniczkowym". Nie wiem czy to w jakikolwiek sposób będzie pomocne.

Ja to widzę tak. Chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ f\in \text{Lip} \alpha }\), gdzie \(\displaystyle{ \text{Lip} \alpha}\) to suma mnogościowa klas Lipschitza \(\displaystyle{ \text{Lip} M^\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ M>0}\) czyli, że \(\displaystyle{ f}\) należy do co najmniej jednej takiej klasy. Trzeba więc pokazać, że istnieje takie \(\displaystyle{ M>0}\), że \(\displaystyle{ f\in\text{Lip} M^\alpha}\). Kiedy więc \(\displaystyle{ f\in\text{Lip} M^\alpha}\)? Wtedy, gdy \(\displaystyle{ (\forall \delta\in (0,\pi])\omega(f,\delta)_{\mathcal{C}\left( \left[ 0,2\pi\right] \right) } \le M\delta^{ \alpha }}\). Aby nabyć intuicji i jakoś takie \(\displaystyle{ M>0}\) określić rozpiszmy co chcemy osiągnąć to znaczy rozpakujmy warunek
do jawnego warunku
pomyślmy, że mamy ustaloną \(\displaystyle{ \delta}\) zatem i nasze \(\displaystyle{ h}\) jest w pewien sposób ograniczone. Teraz można by się było zastanowić nad funkcją \(\displaystyle{ \left| \left| x+h\right|^{1/9}-\left| x\right|^{1/9} \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest parametrem, a \(\displaystyle{ x\in[0,2\pi]}\). Spróbujmy udowodnić lemat. Funkcja \(\displaystyle{ \left| \left| x+h\right|^{1/9}-\left| x\right|^{1/9} \right|}\) niezależnie od \(\displaystyle{ h}\) przyjmuje w \(\displaystyle{ x=0}\) maksimum. Jeśli taki lemat okazał by się prawdziwy to
A wtedy widać, że kładąc \(\displaystyle{ M=1}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ f\in\text{Lip} 1^{1/9}}\). Co wystarcza do stwierdzenia, że \(\displaystyle{ f\in \text{Lip} \frac{1}{9} }\).

Janusz Tracz pisze: ↑4 cze 2021, o 22:10 Ja to widzę tak. Chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ f\in \text{Lip} \alpha }\), gdzie \(\displaystyle{ \text{Lip} \alpha}\) to suma mnogościowa klas Lipschitza \(\displaystyle{ \text{Lip} M^\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ M>0}\) czyli, że \(\displaystyle{ f}\) należy do co najmniej jednej takiej klasy. Trzeba więc pokazać, że istnieje takie \(\displaystyle{ M>0}\), że \(\displaystyle{ f\in\text{Lip} M^\alpha}\). Kiedy więc \(\displaystyle{ f\in\text{Lip} M^\alpha}\)? Wtedy, gdy \(\displaystyle{ (\forall \delta\in (0,\pi])\omega(f,\delta)_{\mathcal{C}\left( \left[ 0,2\pi\right] \right) } \le M\delta^{ \alpha }}\). Aby nabyć intuicji i jakoś takie \(\displaystyle{ M>0}\) określić rozpiszmy co chcemy osiągnąć to znaczy rozpakujmy warunek

\(\displaystyle{ (\forall \delta\in (0,\pi])\omega(f,\delta)_{\mathcal{C}\left( \left[ 0,2\pi\right] \right) } \le M\delta^{ \alpha }}\)

do jawnego warunku

\(\displaystyle{ (\forall \delta\in (0,\pi]) \sup_{|h|<\delta} \max_{x\in[0,2\pi]}\left| \left| x+h\right|^{1/9}-\left| x\right|^{1/9} \right| \le M\delta^{ 1/9}}\)

pomyślmy, że mamy ustaloną \(\displaystyle{ \delta}\) zatem i nasze \(\displaystyle{ h}\) jest w pewien sposób ograniczone. Teraz można by się było zastanowić nad funkcją \(\displaystyle{ \left| \left| x+h\right|^{1/9}-\left| x\right|^{1/9} \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest parametrem, a \(\displaystyle{ x\in[0,2\pi]}\). Spróbujmy udowodnić lemat. Funkcja \(\displaystyle{ \left| \left| x+h\right|^{1/9}-\left| x\right|^{1/9} \right|}\) niezależnie od \(\displaystyle{ h}\) przyjmuje w \(\displaystyle{ x=0}\) maksimum. Jeśli taki lemat okazał by się prawdziwy to

\(\displaystyle{ \sup_{|h|<\delta} \max_{x\in[0,2\pi]}\left| \left| x+h\right|^{1/9}-\left| x\right|^{1/9} \right|=\sup_{|h|<\delta} |h|^{1/9}=\delta^{1/9}.}\)

A wtedy widać, że kładąc \(\displaystyle{ M=1}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ f\in\text{Lip} 1^{1/9}}\). Co wystarcza do stwierdzenia, że \(\displaystyle{ f\in \text{Lip} \frac{1}{9} }\).

Dzięki wielkie, nie pomyślałem nad takim podejściem, a wydaje się dość logiczne. Mam nadzieję że uda się zaliczyć