Matematyka.pl

Ostatnio natknąłem się na taki problem:

Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2,...,26\right\} }\). Czy istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ g(a,b,c)}\) skończonego stopnia, taki że funkcja \(\displaystyle{ F(a,b,c)}\) zadania wzorem \(\displaystyle{ F(a,b,c)=a+b+c+g(a,b,c)}\) która \(\displaystyle{ \forall a,b,c \in A}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ F(a,b,c) \cdot F(a,b,c) \equiv 1\bmod 26}\)

I najbardziej zależałoby mi na wskazaniu takiej funkcji, ponieważ potrzebuje jej explicite do projektu z informatyki ale nie mam pojęcia jak taką funkcję znaleźć, a tym bardziej czy ona w ogóle istnieje stąd moja prośba o pomoc.

`g(a,b,c)=1-a-b-c`

Właściwie trochę źle sformułowałem problem. Chodzi o to że do programu wprowadzamy liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) a następnie jakąś literę, nazwijmy ją \(\displaystyle{ X}\). Program konwertuje ją na liczbę, zwraca nam \(\displaystyle{ X'}\) zadane wzorem \(\displaystyle{ F(a,b,c) \cdot X}\) \(\displaystyle{ mod26}\) po czym \(\displaystyle{ X'}\) konwertuje znowu na literę którą zwraca. I teraz jeśli do tego samego programu wstawimy \(\displaystyle{ X'}\) to powinien nam zwrócić wyjściowe \(\displaystyle{ X}\). I najprościej by było oczywiście żeby \(\displaystyle{ F(a,b,c)=1}\) ale wtedy cały program mijałby się z celem, dlatego poszukuje jak najbardziej prostej funkcji \(\displaystyle{ F}\) która najlepiej jakby była wielomianem

No to a4karo podał Ci konkretny wielomian, jak chcesz inny, to masz jeszcze opcje:
\(\displaystyle{ g(a, b, c) = 25 - a - b - c,}\)

więcej wielomianów spełniających Twój warunek (według mnie) nie znajdziesz.