Matematyka.pl

Do zbadania mam szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{i^{k} k!}{k^{k}}}\)

Za pomocą kryterium d'Alemberta doszedłem do wniosku, że:
ciąg jest zbieżny dla \( i < e \) i rozbieżny dla \( i > e \).

Później dla \( i = e \) zastosowałem także kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \left( \frac{k+1}{k}\right)^{-k} e = \left( \frac{1}{e}\right)^{k} + e}\)
I ze względu na fakt, że \(\displaystyle{ e = 2,7182818... \implies \left( \frac{1}{e}\right)^{k} + e >1}\), \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{i^{k} k!}{k^{k}}}\) rozbieżny dla \( i=e \).

Zastanawiam się tylko, czy jeżeli w pierwszym zastosowaniu kryterium nie mogłem stwierdzić co dzieję się z \( i=e \), to drugi raz mogłem zastosować kryterium d'Alemberta. Pozdrawiam!

guserd pisze: 31 maja 2021, o 20:23 \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \left( \frac{k+1}{k}\right)^{-k} e = \left( \frac{1}{e}\right)^{k} + e}\)
\(\displaystyle{ e = 2,7182818... \implies \left( \frac{1}{e}\right)^{k} + e >1}\), \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{i^{k} k!}{k^{k}}}\)

Przykro mi ale te zapisy nie mają sensu.

guserd pisze: 31 maja 2021, o 20:23 Zastanawiam się tylko, czy jeżeli w pierwszym zastosowaniu kryterium nie mogłem stwierdzić co dzieję się z \( i=e \), to drugi raz mogłem zastosować kryterium d'Alemberta. Pozdrawiam!

Szczerze mówiąc to pytanie też nie bardzo ma sens ale można się domyślać, że chodzi o zastosowanie kryterium d'Alemberta do \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{e^{k} k!}{k^{k}}}\). W taki razie to się nie może udać. Skoro sprawdziłeś na podstawie tego kryterium gdzie odpowiednia granica jest mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\) to nie uzyskasz już nic więcej w poszczególnych przypadkach. Tu trzeba subtelniejszych metod i oszacowaniem silni np wzór Stirlinga czy inne sprytne szacowanie.

Tak, rzeczywiście te zapisy nie mają zbytnio sensu, próbowałem całość skrócić i zapomniałem o granicy...
Chodziło mi o to, że \(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = i \cdot \lim_ {k \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{k})^{k}} = \frac{i}{e} }\) i z tego doszedłem do wniosku, kiedy cały ten szereg jest zbieżny i rozbieżny i zostało mi do sprawdzenia \( \frac{i}{e} = 1 \) czyli \( i = e \).

Dodano po 4 minutach 31 sekundach:
Zastanawiam się czy całość mogę zrobić jeszcze inaczej nie używając równania Stirilinga, bo go jeszcze nie znam i niezbyt dobrze rozumiem.

Udowodnij, że \(\displaystyle{ n! \ge \frac{n^n}{e^n} }\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\). To już wystarczy aby pokazać, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\frac{e^{k} k!}{k^{k}}}\) to \(\displaystyle{ \infty }\).

A czy `i` nie jest tu przypadkiem jednostką urojoną?