Matematyka.pl

Witam,

Gra w orła i reszkę symetryczną monetą.
Gracz A posiada 2zł, gracz B posiada 10zł.
Oblicz prawdopodobieństwo, że gracz A zostanie zrujnowany w 6 grze lub wcześniej.

Spróbowałem obliczyć prawdopodobieństwo rysując drogi zaczynające się na wysokości y=2, ale nie wiem jak mógłbym to obliczyć sprytniej.

"Dobrych dróg" mam 1+3+5 (odpowiednio dla gry kończącej się po 2,4,6 rzutach monetą).
Wszystkich dróg jest 1+3+40 (odpowiednio dla drogi długości 2,4,6).
Prawdopodobieństwo wyszło: \(\displaystyle{ P = \frac{8}{44} }\)

Próbowałem liczyć jeszcze stosując równość \(\displaystyle{ p_{n} = \frac{1}{2} p _{n-1} + \frac{1}{2} p _{n+1} }\)
\(\displaystyle{ 1 - p _{2} = \frac{5}{6} }\) - prawdopodobieństwo ruiny gracza A, rozpoczynającego grę mając 2zł.
Nie wiem jak mógłbym skorzystać z prawdopodobieństwa warunkowego, aby obliczyć ruinę gracza A po konkretnej liczbie rzutów.

Ta gra ma jakieś zasady, które są powszechnie znane ( jak np. warcaby), że nie trzeba o nich pisać?

Jeśli stawką w każdej z gier jest 1 zł (jak domyślam się z powyższego tekstu) to:
\(\displaystyle{ P=P(2)+P(4)+P(6)= \frac{ {1 \choose 0} }{2^2}+ \frac{ {3 \choose 1} }{2^4}+\frac{ {5 \choose 3} }{2^6}=...}\)

PS
Warcaby to niezbyt fortunny przykład gdyż spotkałem się z kilkunastoma wariantami tej gry.

Tak, stawką jest 1zł. Tylko tutaj mamy sytuację z ekranem pochłaniającym. Czyli np. gdybyśmy mieli obliczyć, że gra skończy się po 4 rzutach lub wcześniej, to wszystkich zdarzeń mielibyśmy \(\displaystyle{ 2 ^{4} - 3 }\), ponieważ gdy gracz A po dwóch rzutach straci wszystkie pieniądze, to gra się kończy.