Matematyka.pl

Udowodnij że dla wszystkich x całkowitych, większych od zera \(\displaystyle{ \left( 1+3x\right) ^{3x} \ge 2\left( 3x\right) ^{3x} }\)

Myślę, że na początku można tezę przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+3x}{3x} \right) ^{3x} \ge 2}\)

Z geogebry widzę, że lewa strona jest rosnąca. Jeśli lewą stronę rozważę jako ciąg i udowodnię, że jest rosnący a dla x=1 nierówność jest spełniona (wystarczy policzyć, że to około 2,37) to zadanie, zdaje się, będzie zrobione.
Sposób jaki znam to pokazanie, że \(\displaystyle{ a _{n} < a _{n+1} }\) ale do niczego łatwiejszego mnie to nie doprowadza...

sp1729 pisze: 30 maja 2021, o 17:21Myślę, że na początku można tezę przekształcić do postaci:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+3x}{3x} \right) ^{3x} \ge 2}\)

Z geogebry widzę, że lewa strona jest rosnąca. Jeśli lewą stronę rozważę jako ciąg i udowodnię, że jest rosnący a dla x=1 nierówność jest spełniona (wystarczy policzyć, że to około 2,37) to zadanie, zdaje się, będzie zrobione.

Przecież to jest podciąg ciągu \(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n }\), a którym wiadomo, że jest rosnący (i zbiega do \(\displaystyle{ e}\)) oraz \(\displaystyle{ a_1=2}\).

sp1729 pisze: 30 maja 2021, o 17:21Sposób jaki znam to pokazanie, że \(\displaystyle{ a _{n} < a _{n+1} }\) ale do niczego łatwiejszego mnie to nie doprowadza...

Dowod na granicę z liczbą e
Punkt 3.

JK

Dziękuję za odpowiedź,
nigdy w szkole nie miałem do czynienia z podciągami, poczytam o tym

Łatwiej z nierówności Bernoulliego:

\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3x} \ge 1+\frac{1}{3x} \cdot 3x = 2}\).

Dasio11 pisze: 30 maja 2021, o 19:01 Łatwiej z nierówności Bernoulliego:

Tys prowda.

JK

PS
Za to sposób trudniejszy daje szansę na poszerzenie horyzontów.