Matematyka.pl

Czy poniższe zapisy są równoważne:
\(\displaystyle{ \left\{ \mbox{x spełnia jakiś tam warunek} : x \in R \right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ x \in R : \mbox{x spełnia jakiś tam warunek} \right\}}\)

Nie, bo zapis po lewej stronie nie jest zgodny z żadną istniejącą konwencją matematyczną, więc nie ma sensu.

A te zapisy są równoważne?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \wedge \mbox{warunek} \right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ x \in R : \mbox{warunek}\right\} }\)
Dobrze rozumiem, że poniższy zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\)
Podczas gdy poniższy jest niepoprawny:
\(\displaystyle{ \left\{ x \in R : x \right\} }\)

astroau pisze: 1 cze 2021, o 21:14 A te zapisy są równoważne?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \wedge \mbox{warunek} \right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ x \in R : \mbox{warunek}\right\} }\)

W podręcznikach szkolnych widziałem pierwszy zapis, ale studentom matematyki każę używać drugiego zapisu. Jeżeli uznamy, że możemy używać obu, to opisują ten sam zbiór.

astroau pisze: 1 cze 2021, o 21:14 Dobrze rozumiem, że poniższy zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\)

No akurat tu miałbym wątpliwości, bo dla mnie ten zapis jest dość bezsensowny.

Ogólnie są dwie metody opisu zbioru - za pomocą funkcji zdaniowej ("warunku") i za pomocą operacji ("funkcji").
Opis zbioru za pomocą funkcji zdaniowej wygląda tak: \(\displaystyle{ \{x\in A: \varphi(x)\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) jest funkcją zdaniową o zmiennej wolnej \(\displaystyle{ x}\), czyli "warunkiem", który konkretny element \(\displaystyle{ x\in A}\) może spełniać (lub nie). Tak opisany zbiór to zbiór tych elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\), które spełniają dany warunek.
Opis zbioru za pomocą operacji wygląda tak: \(\displaystyle{ \{\psi(x):x\in A\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) jest operacją (potocznie - funkcją, formalnie - termem), a tak opisany zbiór to zbiór wszystkich wartości operacji \(\displaystyle{ \psi}\) dla argumentów ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Przykład zbioru opisanego w ten sposób: \(\displaystyle{ \{2n:n\in\NN\}.}\)

Opis \(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\) jest bezsensowny (pomijając już fakt, że nie pasuje do powyższego schematu), bo mówi on, że jest to "zbiór tych \(\displaystyle{ x}\), które należą do zbioru \(\displaystyle{ R}\)". A taki zbiór opisujemy po prostu jako \(\displaystyle{ R}\).

astroau pisze: 1 cze 2021, o 21:14 Podczas gdy poniższy jest niepoprawny:
\(\displaystyle{ \left\{ x \in R : x \right\} }\)

Zdecydowanie niepoprawny.

JK

Jan Kraszewski pisze: 1 cze 2021, o 21:49

astroau pisze: 1 cze 2021, o 21:14 Dobrze rozumiem, że poniższy zapis jest poprawny?
\(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\)

No akurat tu miałbym wątpliwości, bo dla mnie ten zapis jest dość bezsensowny.

Bezsensowny ale czy zgodny z przyjętą notacją?

Ale to poniższe chyba ma sens?
\(\displaystyle{ \left\{ 2x : x \in R \right\} }\)

Można użyć i operacji, i warunku. Wtedy będziemy mieli takie coś:
\(\displaystyle{ \left\{ \psi(x) : x \in R \wedge \varphi(x) \right\} }\)
gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) to operacja, a \(\displaystyle{ \varphi}\) to warunek.

A `3.7` jest parzysta?

astroau pisze: 1 cze 2021, o 22:23 Bezsensowny ale czy zgodny z przyjętą notacją?

edit
Jak mi słusznie zwrócił uwagę Dasio11 trochę się zagalopowałem. Jeżeli potraktujemy zapis \(\displaystyle{ \left\{ x : x \in R \right\} }\) jako zapis za pomocą operacji, to ma on sens (choć wyłącznie formalny, praktycznego już nie).

astroau pisze: 1 cze 2021, o 22:23 Ale to poniższe chyba ma sens?
\(\displaystyle{ \left\{ 2x : x \in R \right\} }\)

Jeżeli \(\displaystyle{ R}\) to \(\displaystyle{ \RR}\), to sens ma, choć tylko formalny, a nie praktyczny, bo \(\displaystyle{ \left\{ 2x : x \in \RR \right\}=\RR }\).

astroau pisze: 1 cze 2021, o 22:23 Można użyć i operacji, i warunku. Wtedy będziemy mieli takie coś:
\(\displaystyle{ \left\{ \psi(x) : x \in R \wedge \varphi(x) \right\} }\)
gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) to operacja, a \(\displaystyle{ \varphi}\) to warunek.

Formalnie - nie. Musiałbyś tego użyć tak:

\(\displaystyle{ \left\{ \psi(x) : x \in \{t\in\RR: \varphi(t)\} \right\}. }\)

Choć oczywiście w codziennej praktyce nie wszystkie używane zapisy są w pełni formalne, podobnie jak nie zawsze mówimy literacką polszczyzną.

JK

Czy mógłbyś podać mi linka gdzie to byłoby dla mnie jaśniej wyjaśnione? Po polsku oczywiście bo z angola jestem słaby.

Możesz pożyczyć w bibliotece mój podręcznik "Wstęp do matematyki", tam jest to wyjaśnione.

JK

Dzięki, chętnie kupię tę książkę. Jeszcze pytanko, polecisz książkę w której byłaby opisana matematyka ale od strony językowej, nie teoretycznej, np. symbole i w jakim kontekście się ich używa?

Matematyk raczej nie potrzebuje takiej książki, więc nie sądzę, żeby taka książka istniała. Ale oczywiście mogę się mylić.

JK