Trochę brzydko. Dla
\(\displaystyle{ n=1}\) teza jest wręcz oczywista, dalej przyjmijmy
\(\displaystyle{ n\ge 2}\).
Znajdziemy taką „możliwie małą" stałą dodatnią
\(\displaystyle{ \alpha}\), że zajdzie nierówność
\(\displaystyle{ x^{n}\le \alpha\left((x+1)^n-x^n\right), \ x=3,4\ldots n+1 \ (*)}\)
W tym celu dzielimy nierówność stronami przez
\(\displaystyle{ x^{n}}\), co prowadzi nas do równoważnej
\(\displaystyle{ 1\le \alpha\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^n-1\right)}\)
a następnie używamy swoistego wzmocnienia nierówności Bernoulliego (którego dowód w dodatnich jest trywialny przez rozpisanie ze wzoru dwumianowego i usunięcie części dodatnich składników):
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{n}\ge 1+\frac{n}{x}+\frac{{n\choose 2}}{x^2}}\).
Wystarczy więc, że
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest takie, by zaszło
\(\displaystyle{ 1\le \alpha\left(\frac{n}{x}+\frac{{n\choose 2}}{x^2}\right), \ x=3,4\ldots n+1}\).
Oczywiście ten drugi czynnik przyjmuje najmniejszą wartość dla
\(\displaystyle{ x=n+1}\), toteż działa
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{1}{\frac{n}{n+1}+\frac{{n\choose 2}}{(n+1)^2}}=\frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}}\).
Teraz dodajemy stronami
\(\displaystyle{ (*)}\) z odpowiednią alfą dla
\(\displaystyle{ k=3,4\ldots n+1}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ 3^{n}+4^{n}+\ldots+(n+1)^n\le \frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}\left((n+2)^n-3^n\right)}\) .
Pozostaje wykazać, że
\(\displaystyle{ (n+3)^n-(n+2)^n\ge \frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}\left((n+2)^n-3^n\right)}\),
a okazuje się, że całkiem szybko zaczyna zachodzić prostsza technicznie nierówność
\(\displaystyle{ (n+3)^n-(n+2)^n\ge \frac{(n+1)^2}{n(n+1)+{n\choose 2}}(n+2)^n}\).
To zachodzi bodajże dla
\(\displaystyle{ n\ge 5}\) (i dowód tego warto rozpocząć od podzielenia przez
\(\displaystyle{ (n+2)^n}\), a potem rozważyć pewne dwa ciągi i udowodnić, że jeden rośnie, drugi zaś maleje). Pozostałe przypadki umiem sprawdzić tylko ręcznie.
No ale to całkiem małe liczby…
NB mniej technicznego babrania się w szacowaniach jest, gdy się skorzysta z rachunku całkowego, ale wtedy (chyba że ktoś działa subtelniej niż ja) dostaniemy prawdziwość dla
\(\displaystyle{ n\ge 8}\), czyli jeszcze więcej użerania się z małymi wartościami
\(\displaystyle{ n}\)…