Matematyka.pl

Niech \(a_{1} \in (0, 1) \) i \( a_{n+1} = \frac{2a_{n}}{1+a_{n}} \) dla \(n \in \mathbb{N} \)

Zbadaj czy ciąg \( a_{n}, n \in \mathbb{N} \) na monotoniczność, zbieżność i ograniczenie. Jeżeli ciąg jest zbieżny, podaj wartość granicy.

Za pomocą indukcji matematycznej dowiodłem, że każde \( a_{n} \in (0, 1) \) Czy z tego wynika, że ciąg jest monotoniczny?

I co w takim razie z granicą i ograniczeniem?

guserd pisze: ↑24 maja 2021, o 08:55Za pomocą indukcji matematycznej dowiodłem, że każde \( a_{n} \in (0, 1) \) Czy z tego wynika, że ciąg jest monotoniczny?

A w jaki sposób miałoby to wynikać z tego, że "każde \( a_{n} \in (0, 1) \)"? Czy np. ciąg \(\displaystyle{ b_n=\frac12+ \frac{(-1)^n}{4} }\) jest monotoniczny? A przecież każde \( b_{n} \in (0, 1) \).

Skoro już wiesz, że to ciąg o wyrazach dodatnich, to zbadaj jak iloraz \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) ma się w stosunku do jedynki.

guserd pisze: ↑24 maja 2021, o 08:55I co w takim razie z granicą i ograniczeniem?

Pokazałeś, że "każde \( a_{n} \in (0, 1) \)". Czy to ma jakiś związek z ograniczeniem?

JK

Intuicja jest taka, że niezależnie od warunku początkowego \(\displaystyle{ a_0}\) kolejne iteracje/złożenia \(\displaystyle{ f^{n}(a_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x}{1+x} }\) zbiegają do punktu stałego \(\displaystyle{ 1}\). Zobacz jak wygląda wykres Cobweb-Verhulst zrobiony specialnie dla takiego układu dynamicznego . Oś pionowa to \(\displaystyle{ f(a_n)=a_{n+1}}\) pozioma to \(\displaystyle{ a_n}\) a warunek początkowy \(\displaystyle{ a_0}\) przemiata wartości \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) }\). Potem widać kolejne zbieżne iteracje.