Matematyka.pl

Pokazać, że istnieją liczby pierwsze wymierne \(\displaystyle{ p}\), które w pierścieniu Eisensteina są rozkładalne tj \(\displaystyle{ p=\pi_1\pi_2}\) (np. podając przykład)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Uważam, że przykładem takiej liczby jest \(\displaystyle{ 13}\), bo:
\(\displaystyle{ 13=(1-3\omega)(4+3\omega)=4+3\omega-12\omega-9\omega^2}\), i teraz z tego, że \(\displaystyle{ \omega}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ \omega^2+\omega+1=0}\), więc \(\displaystyle{ \omega=-\omega-1}\), otrzymuję, że:
\(\displaystyle{ 13=4-9\omega-9(-\omega-1)=4+0+9=13}\), a liczby \(\displaystyle{ 1-3\omega}\) i \(\displaystyle{ 4+3\omega}\) są bez wątpienia liczbami Eisensteina.
Czy tak jest dobrze?

Jest dobrze, ale możliwe że trzeba jeszcze sprawdzić nierozkładalność czynników.

A to trzeba sprawdzać?

No dobra, a jak sprawdzić nierozkładalność liczb Eisensteina?

Tfu, chodziło mi o nieodwracalność.

W teorii pierścieni element nazywa się rozkładalnym, kiedy daje się przedstawić jako iloczyn elementów nieodwracalnych. Owa nieodwracalność jest po to, aby wykluczyć trywialne rozkłady takie jak \(\displaystyle{ a = 1 \cdot a}\). Dlatego autor zadania mógł oczekiwać wykazania, że znaleziony przez Ciebie rozkład jest nietrywialny, czyli że jego czynniki są nieodwracalne.

Standardowym sposobem jest wyznaczenie normy w tym pierścieniu - jest nią funkcja \(\displaystyle{ N : R \to \ZZ}\) dana wzorem \(\displaystyle{ N(a+b \varepsilon) = a^2-ab+b^2}\). Norma jest multiplikatywna, czyli zachodzi wzór \(\displaystyle{ N(xy) = N(x) \cdot N(y)}\) (jak łatwo sprawdzić). Gdyby zatem \(\displaystyle{ 4+3\omega}\) był odwracalny, tzn. \(\displaystyle{ (4+3\omega) \cdot x = 1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x \in R}\), to musiałoby zajść

\(\displaystyle{ N(4+3\omega) \cdot N(x) = N(1) = 1}\).

Jest to jednak niemożliwe, bo \(\displaystyle{ N(4+3\omega) = 13}\) nie jest dzielnikiem jedynki - otrzymana sprzeczność dowodzi, że \(\displaystyle{ 4+3\omega}\) jest nieodwracalny.

Podobnie dowodzi się nieodwracalności drugiego czynnika.

No dobra, to napisze po kolei poszczególne kroki, żeby sprawdzić czy rozumiem:

Jak rozumiem zakładasz nie wprost, że \(\displaystyle{ \exists x:(4+3\omega) \cdot x=1}\), obkładasz to obustronnie normą dostając \(\displaystyle{ N((4+3\omega)x)=N(1)}\) i teraz z tej multiplikatywności i tego, że \(\displaystyle{ N(1)=1}\) dostajesz, że \(\displaystyle{ N(4+3\omega)N(x)=1}\) i dalej z normy:
\(\displaystyle{ (16-12+9)N(x)=1}\) czyli \(\displaystyle{ 13N(x)=1}\) i teraz tylko trzeba wywnioskować, że skoro norma jest liczbą całkowitą i jest tu zwykłe mnożenie, a \(\displaystyle{ 13}\) nie dzieli jedynki to nie istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ N(x)}\), że \(\displaystyle{ 13N(x)=1}\), czyli sprzeczność, zgadza się?

Swoją drogą to z tego chyba wynika, że jedyne elementy w tym zbiorze, które są odwracalne to takie, które mają normę równą \(\displaystyle{ 1}\).

Wszystko się zgadza.