Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sin^{48}x+\cos^{48}x=1 \ \ , \ \ x\in\mathbb{R}}\)

Jak to rozwiązać w miarę najszybciej? Jak wogóle rozwiązywać takie równania z dużą, parzystą potęgą?

Wskazówka: \(\displaystyle{ \sin^{48}{x} \le \sin^{2}{x} }\) oraz \(\displaystyle{ \cos^{48}{x} \le \cos^{2}{x} }\).

Ja bym zaczął:
\(\displaystyle{ \sin^{48}x+\cos^{48}x=\sin^2x+\cos^2x\\
\sin^2x(1-\sin^{46}x)+\cos^2x(1-\cos^{46}x)=0}\)
Wobec nieujemności czynników w składnikach
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin^2x(1-\sin^{46}x)=0 \\ \cos^2x(1-\cos^{46}x)=0 \end{cases} }\)
i do rozwiązania blisko

Pozdrawiam

Tmkk pisze: 21 maja 2021, o 20:06 Wskazówka: \(\displaystyle{ \sin^{48}{x} \le \sin^{2}{x} }\) oraz \(\displaystyle{ \cos^{48}{x} \le \cos^{2}{x} }\).

Jak konkretnie to wykorzystać?

Dodaj takie nierówności stronami i skorzystaj z jedynki trygonometrycznej, a otrzymasz wniosek, że musi zachodzić równość w tych nierównościach. Kiedy zachodzi równość w nierówności \(\displaystyle{ t^{48}\le t^2, \ t\in [0,1]}\)

W zasadzie to nawet nie tak bardzo różni się od tego, co zaproponował JHN.

Wydaje mi się, że już rozumiem. Dziękuję Wszystkim za pomoc.

Albo - jeśli znasz rachunek liczb zespolonych - skorzystaj ze wzorów de Moivre’a.

Dilectus pisze: 23 maja 2021, o 10:25 Albo - jeśli znasz rachunek liczb zespolonych - skorzystaj ze wzorów de Moivre’a.

A możesz pokazać jak?