Matematyka.pl

Cześć, czy zna ktoś jakąś sprytną elegancką metodę, która pozwoli policzyć poniższą granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} x e^{1/x} }\)
Ma to być zrozumiałe dla osoby, która nie zna pochodnych i w związku z tym odpada reguła de l'Hospitala lub oszacowanie z szeregu Taylora.

Jedyny pomysł na który wpadłem, to szacowanie od dołu dla \(\displaystyle{ x \in \left[(1/2)^n, (1/2)^{n-1}\right]}\) naszej funkcji przez \(\displaystyle{ (e/2)^n}\) i skorzystanie z wiedzy o tym, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (e/2)^n = +\infty}\), ale nie wiem czy podpada to pod "sprytną elegancką metodę". Znacie jakiś fajny sposób na policzenie tej granicy? Z góry dzięki za pomoc!

P.S. Przeglądałem forum i znalazłem podobne (a może nawet dokładnie takie same, teraz nie mogę znaleźć) granice liczone przy użyciu wspomnianej reguły oraz temat, gdzie różne granice się bez tej metody liczy, ale nic podobnego nie znalazłem.

Nie będzie to jakieś super sprytne, ale jeśli chcesz to zrobić prosto, to zacząłbym od podstawienia \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\). Dostajemy wtedy przyjemniejszy napis, czyli \(\displaystyle{ \lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{y}}\). Teraz wypadałoby cokolwiek wiedzieć o funkcji wykładniczej, aby to jakoś przeszacować. Dla przykładu, ze zwykłego popatrzenia na wykresy, możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ e^x \ge x}\). Podnosząc do kwadartu (patrzymy na liczby dodatnie), jest \(\displaystyle{ e^{2x} \ge x^2}\), wobec czego \(\displaystyle{ e^{y} \ge \frac{y^2}{4}}\). Podstawiamy i wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{e^y}{y} \ge \frac{y^2}{4y} = \frac{y}{4} \to +\infty}\), gdy \(\displaystyle{ y\to +\infty}\).

Dzięki, jest bosko, właśnie czegoś takiego mi było trzeba!