Matematyka.pl

Każdy bok i każdą przekątną sześciokąta foremnego malujemy losowo na jeden z trzech kolorów. Wybór każdego koloru jest jednakowo prawdopodobny, kolorowania różnych odcinków są niezależne. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę jednobarwnych trójkątów o wierzchołkach będących wierzchołkami sześciokąta. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ X}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Dostaję kociokwiku od tych trójkątów...

Wskazówka: popatrz na zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{i,j,k}}\), które sprawdzają, czy na wierzchołkach \(\displaystyle{ i,j,k}\) powstał jednobarwny trójkąt. Innymi słowy, \(\displaystyle{ X_{i,j,k} = 1}\), jeśli taki trójkąt się pojawił, i \(\displaystyle{ X_{i,j,k} = 0}\), jeśli nie.

\(\displaystyle{ Pr(\{X =3\})= \frac{3}{3^3} = \frac{1}{9}. }\)

\(\displaystyle{ E(X) = { 6\choose 3}\cdot \frac{1}{9} = \frac{20}{9}. }\)

Niestety dalej nie bardzo rozumiem. Bo te zmienne \(\displaystyle{ X_{i,j,k}}\) chyba nie będą niezależne. Nie wiem miesza mi się to jakoś. Słabo mi idą te zadania geometryczne. Proszę jeszcze o dalszą pomoc.

A po co Ci niezależność tych zmiennych losowych? Liniowość wartości oczekiwanej działa bez tego i wynika z liniowości całki Lebesgue'a.

Czyli co, czyli to będzie coś takiego?:

\(\displaystyle{ EX_{i,j,k}=0 \cdot \text{coś}+1 \cdot \frac{3}{3^3}= \frac{1}{9} }\)

I dalej:

\(\displaystyle{ EX= {6 \choose 3} \cdot \frac{1}{9}= \frac{20}{9} }\)

Tak jest dobrze?

Tak jest.

Dodam, że ten trik z rozbiciem zmiennej losowej na takie 'zliczające' kawałki jest wart zapamiętania. Jest wiele zadań, gdzie można to wykorzystać i właśnie dzięki liniowości wartości oczekiwaniej, takie zadania stają się bardzo proste.

To nawet janusz47 dobrze zrobił

Ale to w sumie takie nieoczywiste jest, bo to by znaczyło, że zamiast tego zadania można rozpatrywać 20 oddzielnych trójkątów jakby niezależnie i każdy z nich ma wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ 1/9}\) i zsumować, tak jakby to, że jeden trójkąt jest jakoś pokolorowany nie miało wpływu na pokolorowanie sąsiadujących trójkątów. Dziwne to trochę.

Zapominamy na czym polega doświadczenie losowe opisane w treści zadania.

Jest to w sumie jak najbardziej oczywiste, bo wybieramy do kolorowania niezależnie trzy trójkąty spośród sześciu na \(\displaystyle{ {6 \choose 3} }\) sposobów.

Moim zdaniem, wprowadzenie zmiennej losowej trójindeksowej \(\displaystyle{ X_{i,j,k} }\) jest w tym zadaniu niepotrzebne.

Zapis

\(\displaystyle{ EX_{i,j,k} = 0 \cdot coś + 1 \cdot \frac{3}{3^{3}} = \frac{1}{9} }\) jest nieprawidłowy przez "coś " , więc nieprzydatny.

Ale chodzi o to, że zmiana koloru jednej krawędzi, może powodować zmianę jednobarwności kilku trójkątów. I to jest trochę dziwne, że można to tak rozdzielić.

Zadanie dotyczące zmiennej losowej dyskretnej o rozkładzie jednostajnym.

Wszelkie dywagacje dotyczące "kolorowania jednego trójkąta zamiast dwudziestu, czy zmiana koloru jednej krawędzi może spowodować jednobarwność kilku trójkątów " są bezpodstawne - nie mają wpływu na rozwiązanie zadania.

janusz47 pisze: ↑23 maja 2021, o 18:59 Wszelkie dywagacje dotyczące "kolorowania jednego trójkąta zamiast dwudziestu, czy zmiana koloru jednej krawędzi może spowodować jednobarwność kilku trójkątów " są bezpodstawne - nie mają wpływu na rozwiązanie zadania.

Warto by uzasadnić ową bezpodstawność. Intuicja sugeruje silny wpływ wyboru koloru boków jednego trójkąta na pokolorowanie trójkątów dzielących wspólne krawędzie.

PS
Można wykazać oponentom (lub swojej intuicji) błędność ich (jej) poglądów przez wskazanie kontrprzykładu. Policzenie wartości oczekiwanej jednokolorowych trójkątów dla wierzchołków czworokąta nie powinno być problemem.

Warto zapoznać się dokładniej z treścią zadania.

Słusznie. Zrób to