Matematyka.pl

Wypisać wszystkie charaktery Dirichleta dla modułu \(\displaystyle{ q=5}\).

Charakter Dirichleta modulo \(\displaystyle{ p}\) jest zdefiniowany jako rozszerzenie definicji charakteru multiplikatywnego ciała \(\displaystyle{ Z_p}\) na wszystkie liczby całkowite przez okresowość. Charakter multiplikatywny \(\displaystyle{ X}\) ciała \(\displaystyle{ F_p}\), nazywamy funkcję \(\displaystyle{ X:F_p^* \rightarrow \CC}\), która jest multiplikatywna, czyli \(\displaystyle{ X(ab)=X(a)X(b)}\) i \(\displaystyle{ \CC}\) jest ciałem liczb zespolonych, a \(\displaystyle{ F_p^*}\) jest grupą jedności ciała \(\displaystyle{ p}\)-elementowego \(\displaystyle{ F_p}\).

Może mi ktoś powiedzieć jak to zrobić? I co to jest ten charakter Dirichleta, bo nie bardzo rozumiem tą definicję.

Jest to dość ciekawa zależność mówiąc normalnym językiem między Grupą multiplikatywną:

\(\displaystyle{ \ZZ_{k}^*}\) a odpowiadającą jej grupą z elementami typu:

\(\displaystyle{ e^{ \frac{2\pi i \cdot r}{\varphi(k)} }}\) z działaniem mnożenia, gdzie:

\(\displaystyle{ (k,r)=r}\), nazwijmy tę grupę roboczo G

I teraz według moich spostrzeżeń, funkcja \(\displaystyle{ X}\) ustala pewne homomorfizmy między:


\(\displaystyle{ \ZZ_{k}^*}\) a G

Rozwijając sprawę nie trzeba się ograniczać do elementów względnie pierwszych z k ale przyjmuje się wtedy, że:

\(\displaystyle{ X(c)=0}\), gdy \(\displaystyle{ (c,k)>1}\)

Łatwo zauważyć , że \(\displaystyle{ X(1)=1}\)

W Twoim przypadku mamy:

\(\displaystyle{ Z_{5}^*=\left\{ 1,2,3,4\right\} }\)

a elementy odpowiadające grupie G będą:

\(\displaystyle{ G=\left\{ 1,-1,i,-i\right\} }\), co łatwo wyliczyć z:

\(\displaystyle{ e^{ \frac{2\pi i \cdot r}{\varphi(k)} }, r=1,2,3,4 , \varphi(k)= \varphi(5)=4 }\)

I teraz zauważ, że rzędy elementów \(\displaystyle{ 2, 3}\) w grupie \(\displaystyle{ Z_{5}^*}\) wynoszą cztery podobnie jak elementy:

\(\displaystyle{ i, -i}\) w grupie \(\displaystyle{ G}\)

Można teraz konstruować homomorfizmy:

\(\displaystyle{ X_{1}(r)=1, r=1,2,3,4 }\) - homomorfizm w podgrupę grupy \(\displaystyle{ G}\) trywialny \(\displaystyle{ G_{0}=\left\{ 1\right\} }\)

\(\displaystyle{ X_{2}(r)=1 ,r=1, 4, X_{2}(r)=-1, r=2,3}\) - homomorfizm w podgrupę \(\displaystyle{ G_{1}=\left\{ 1,-1\right\} }\)

Wreszcie dwa "porządne" homomorfizmy na całą grupę:

\(\displaystyle{ X_{3}(1)=1, X_{3}(2)=i, X_{3}(3)=-i, X_{3}(4)=-1}\)

\(\displaystyle{ X_{4}(1)=1, X_{4}(2)=-i, X_{4}(3)=i, X_{4}(4)=-1}\)

Oczywiście rząd elementu i jego obrazu muszą się zgadzać i dlatego tak jest...