Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie przestrzenią Hilberta i \(\displaystyle{ K \subset H}\) będzie domknięty, niepustym i wypukłym zbiorem.

Czy prawdą jest że jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \NN} \subset K}\) spełnia warunek Cauchy'ego to ma on granicę ?

Dodano po 2 minutach 37 sekundach:
Czy to jest tak że domknięty podzbiór zupełnej przestrzeni (p. Hilberta) jest zbiorem zupełnym?

Tak.

A mogę zapytać na które pytanie odpowiedziałeś twierdząco? A jeśli na oba to gdzie mógłbym znaleźć jakieś źródło w którym drugie pytanie miało by odpowiedź?

Na oba.

Nie znam źródła, ale dowód jest prosty: jeśli weźmie się dowolny ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ (a_n)}\) o elementach w \(\displaystyle{ K}\), to z zupełności przestrzeni jest on zbieżny do pewnego elementu \(\displaystyle{ a \in H}\). Jednak z domkniętości \(\displaystyle{ K}\) wynika że \(\displaystyle{ a \in K}\), czyli w istocie \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do elementu \(\displaystyle{ K}\) - czego należało dowieść.