Matematyka.pl

Czy jeśli \(\displaystyle{ f\in BV([a,b])}\), to \(\displaystyle{ |f|^{p}\in BV([a,b])}\) dla \(\displaystyle{ p\in(0,1)}\)? Jeśli tak, w jaki sposób to udowodnić, jeśli nie, jaki jest kontrprzykład?

Gdyby chodziło o funkcję określoną na \(\displaystyle{ \NN}\), to kontrprzykład byłby taki:

\(\displaystyle{ g(n) = \begin{cases} 0 & \text{gdy } 2 \mid n \\ \frac{1}{\sqrt[p]{n}} & \text{gdy } 2 \nmid n \end{cases}}\)

Ale skoro funkcja ma być określona na przedziale, to wystarczy prosta modyfikacja:

\(\displaystyle{ f(x) = g(n)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ \frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n+2} \right)}\) i \(\displaystyle{ f(1) = 0}\).