Strona 1 z 1
Dowód indukcyjny?
: 10 maja 2021, o 18:24
autor: kt26420
Niech \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą z kolei liczbę pierwszą. Wykazać, że \(\displaystyle{ \forall_{n\in\NN, n \ge 12}\ p_n \ge 3n.}\)
jak można to rozwiązać, prosze pomocy, bo nie mam pomysłu(
Re: Dowód indukcyjny?
: 10 maja 2021, o 20:51
autor: Jakub Gurak
Wskazówka: Zauważ, że w ciągu \(\displaystyle{ 6}\) kolejnych liczb naturalnych (za wyjątkiem początkowych wartości \(\displaystyle{ 2,3}\), czyli licząc od co najmniej \(\displaystyle{ 4}\)) co najwyżej dwie są pierwsze, (wynika to z rozważenia reszt z dzielenia tych liczb przez \(\displaystyle{ 2}\) i reszt z dzielenia tych liczb przez \(\displaystyle{ 3}\), tzn. co najmniej cztery są złożone), a więc stosunek liczb pierwszych do wszystkich liczb naturalnych w tym ciągu jest nie większy niż \(\displaystyle{ 2/6=1/3.}\)