Matematyka.pl

Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{n} \cdot \sin \frac{x}{n} }\)

Wydawało mi się, że wystarczy skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \left| \sin \frac{x}{n} \right| \le \left| \frac{x}{n} \right| }\), i oszacować szereg przez szereg zbieżny i Weierstrass.

Ale odpowiedź jest, że nie jest zbieżny jednostajnie.
Jakby ktoś mógł pokazać, gdzie mam błąd i ewentualnie dać jakaś wskazówkę.

Aby użyć twierdzenia Weierstrassa, to w tym majoryzującym wyrazie nie może być żadnego \(\displaystyle{ x}\), więc \(\displaystyle{ \frac{|x|}{n^2}}\) nie jest dobrym kandydatem. Gdyby sytuacja miałaby miejsce na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) to byłoby prosto, ale skoro musisz sprawdzić zbieżność na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to to nie działa.

Wskazówka: spróbuj pokazać, że nie jest spełniony warunek Cauchy'ego.

Tylko mam problem, żeby sinusa dobrze ograniczyć i zastanawiam się, czy nie lepiej byłoby spróbować nie wprost i szukać sprzeczności.
Chyba, że da się to jakoś łatwo oszacować.

No ale wiesz już, że NIE jest jednostajnie zbieżny, więc co tu ograniczać? I co chciałbyś dowodzić nie wprost?
Sprawdź, co z definicji znaczy, że szereg nie jest jednostajnie zbieżny.

JK

Widziałem definicję i trzeba tam pokazać, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha }\) dla której wyrażenie \(\displaystyle{ \left| f_{n} \left( x\right)- f_{m} \left( x\right) \right| \ge \alpha }\)

Albo skoro ma być większe dla dowolnego \(\displaystyle{ n,m}\) to czy możemy na przykład ustalić \(\displaystyle{ n=[x]}\) a potem ustalić epsilon jako np. \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\)? Czy w ogóle źle myślę o Cauchym.

Pietras2001 pisze: 9 maja 2021, o 21:32 Widziałem definicję i trzeba tam pokazać, że istnieje \(\displaystyle{ \alpha }\) dla której wyrażenie \(\displaystyle{ \left| f_{n} \left( x\right)- f_{m} \left( x\right) \right| \ge \alpha }\)

To zapisz tę definicję jeszcze raz, porządnie ze wszystkimi kwantyfikatorami, a potem ponownie odpowiedz na to pytanie. Bo Twoje pytanie wskazuje na to, że zupełnie ignorujesz kwantyfikatory i ich kolejność.

JK