stan odkształcenia

marej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

stan odkształcenia

Post autor: marej » 5 maja 2021, o 15:21

Witam,
proszę o sprawdzenie rozwiązania według książki:
Prostokątna płyta o wymiarach a=200mm,b-150mm,g=25mm jest umieszczona bez luzu pomiędzy dwiema nieodkształacalnymi ścianami i poddana działaniu równomiernego obciążenia P=200kN.Wyznaczyć wartość siły N, z jakimi płyta będzie naciskana na ściany. Libcza Poissona dla materiału płyty v=0,25
Rysunek:
https://i.ibb.co/vZMsMwT/6.jpg
Rozwiązanie:
Płyta znajduje się w przestrzennym stanie naprężenia, którego składowe przyjmją wartości:
\(\displaystyle{ \sigma_{x}=- \frac{P}{bg} \\
\sigma_{y}=- \frac{P}{ag}\\
\sigma_{z}=- \frac{P}{ab}}\)

Z warunku zadania (\(\displaystyle{ \epsilon_{z}=0}\)) mamy
\(\displaystyle{ \epsilon_{z}= \frac{1}{E} [\sigma_{z}-v( \sigma_{x}+\sigma_{y})]=0}\)
stąd
\(\displaystyle{ \sigma_{z}=v( \sigma_{x}+\sigma_{y})}\)
Po uwzględnieniu wyznaczonych wartości naprężeń otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{N}{ab} =v(\frac{P}{bg}+\frac{p}{ag})}\)
Zatem
\(\displaystyle{ N=v\frac{P}{g} \cdot \frac{ab}{a+b}}\)
Po uwzględnieniu wartości liczbowych otrzymujemy
\(\displaystyle{ N=\frac{200000}{0,025}\cdot \frac{0,2\cdot 0,15}{0,2+0,15}=171,4kN}\)

Według mnie w książce jest błąd powinno być:
\(\displaystyle{ N=v\frac{P}{g}(a+b)=700kN}\)
Ostatnio zmieniony 5 maja 2021, o 18:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 566
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: StudentIB » 5 maja 2021, o 16:14

Sprawdziłem to metodą elementów skończonych, wychodzi mi 130 kN, więc bliżej wyniku z książki. Różnica jest pewnie kwestią uproszczeń zastosowanych w podejściu analitycznym.

marej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 mar 2021, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Re: stan odkształcenia

Post autor: marej » 5 maja 2021, o 18:20

Błąd jest chyba w przeksztłceniu wzoru w książce:
\(\displaystyle{ \frac{N}{ab} =v(\frac{P}{bg}+\frac{p}{ag})\\
N=v\frac{P}{g} \cdot \frac{ab}{a+b}\\
}\)

a powinno chyba być:
\(\displaystyle{ N=v\frac{P}{g}(a+b)}\)

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 566
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: StudentIB » 5 maja 2021, o 18:55

Faktycznie z tego przekształcenia powinno wyjść:

\(\displaystyle{ N=\frac{\nu P (a+b)}{g}}\)

I wtedy wynik to \(\displaystyle{ 700 \ kN}\) tak jak piszesz. Ciekawe tylko, że wartość z książki prawie pokrywa się z tym, co otrzymałem MES-em. Może gdzieś jeszcze jest błąd w tym zadaniu w podręczniku, chociaż reszta wygląda prawidłowo.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6843
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1105 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: kruszewski » 6 maja 2021, o 00:09

Co to za program w którym rachuje Pan te "elementy skończone" ?
Co mu Pan zadaje? Bo:
\(\displaystyle{ \frac{N}{ab} = \sigma_z = \nu \left(\sigma_x + \sigma_y \right) = \nu \left( \frac{P}{bg} + \frac{P}{ag} \right) = \frac{\nu P}{g} \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \right) = \frac{\nu P}{g} \frac{a+b}{ba} }\)
I wtedy:
\(\displaystyle{ N= \frac{\nu P}{g} (a+b)}\)
Podstawiając wartości liczbowe mamy:
\(\displaystyle{ N= \frac{0,25 \cdot 200 \ {kN}}{0,025 \ m} \cdot (0,20+ 0,15) \ m = 700 \ {kN} }\)

Błąd jest w sprowadzeniu do wspólnego mianownika sumy ułamków napisanych w nawiasie co zauważył wcześniej Kolega marej .

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 566
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: StudentIB » 6 maja 2021, o 00:34

W takim razie ciekawe skąd ta różnica. W programie rysuję rzeczoną płytę jako prostopadłościan. Dwóm największym ścianom (tym o wymiarach \(\displaystyle{ a \times b}\)) odbieram możliwość ruchu w każdym z kierunków. Natomiast do bocznych ścian przykładam obciążenie po \(\displaystyle{ 200 \ kN}\). Po uzyskaniu wyników odczytuję wypadkową siłę reakcji w kierunku normalnym z jednej ze ścian, które mają zablokowaną możliwość ruchu. Jest to więc nieco inna realizacja warunków z zadania (zamiast kontaktu z nieodkształcalną ścianą jest odpowiedni warunek brzegowy), ale efekt powinien być ten sam.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6843
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1105 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: kruszewski » 6 maja 2021, o 01:52

Warunkiem jest niezmienność grubości \(\displaystyle{ g}\) , czyli \(\displaystyle{ \varepsilon_ z = 0 }\)
I ten warunek należy zapisać wg programu. Wtedy:
\(\displaystyle{ \sigma_z = \sigma_c}\),
oraz \(\displaystyle{ N = 700 \ {kN}}\)
z dokładnością do znaku zależnie od tego, czy będzie to siła nacisku na ścianę, czy reakcja ściany na działanie na nią płytki.

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 566
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: StudentIB » 6 maja 2021, o 16:35

W programie nie ma możliwości przyjęcia warunku, że odkształcenia w kierunku \(\displaystyle{ Z}\) są zerowe. To znaczy, mogę zrobić analizę w płaskim stanie odkształcenia, ale wtedy nie odczytam siły w kierunku \(\displaystyle{ Z}\).

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6843
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1105 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: kruszewski » 6 maja 2021, o 17:07

I pewnie tu ten kłopot.

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 566
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: StudentIB » 6 maja 2021, o 17:37

Zapewne tak, do obliczeń analitycznych w książce wprowadzono pewne założenie upraszczające a analiza MES daje bardziej realistyczne i pełne wyniki, ale przez to też trudne do porównania z rozwiązaniem analitycznym.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6843
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1105 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: kruszewski » 6 maja 2021, o 20:13

Gzie Pan widzi te uproszczenia?

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 566
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: StudentIB » 14 maja 2021, o 12:34

Jak się okazało, to zagadnienie nie jest tak trywialne do zamodelowania metodą elementów skończonych, jak mogłoby się wydawać. Konieczny jest odpowiedni dobór warunków brzegowych i dopiero wtedy uzyskuje się zerowe odkształcenia w kierunku \(\displaystyle{ Z}\) i prawidłową wartość reakcji (ok. \(\displaystyle{ 700 \ kN}\)).

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6843
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1105 razy

Re: stan odkształcenia

Post autor: kruszewski » 14 maja 2021, o 14:30

MES jest narzędziem. I jak każe ma swoje ograniczenia. Pozwala na wyliczenie parametru, siły, przemieszczena, stąd i naprężenia, ale nigdy dokładniej niż pozwalają mu równania teoretyczne. Stąd wymagania umiejęności posługiwania się nim przez użytkownika i co najważniejsze,rozumienie tego sposobu. Taka jest uroda każdego narzędzia.
Pozdrawiam,
W.Kr.

ODPOWIEDZ