Błąd w poleceniu? Optymalizacja z Operonu
: 5 maja 2021, o 01:13
Oto zadanko z próbnej matury rozszerzonej z Operonu 2021.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne o polu powierzchni całkowitej \(\displaystyle{ Pc=432 \sqrt{3} }\). Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest najmniejsza.
Wydaje mi się, że powinna być do wyznaczenia objętość największa, a nie najmniejsza. Wrzucam swoje obliczenia:
\(\displaystyle{ V=P _{p} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ P _{p} = 6 \cdot \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{3a ^{2} \sqrt{3} }{2} }\)
\(\displaystyle{ H= \frac{144 \sqrt{3}-a ^{2} \sqrt{3} }{2a} }\)
\(\displaystyle{ V= \frac{9}{4} \left( 144a-a ^{3} \right) }\)
Tworzę funkcję objętości zależną od \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ V(a)=144a-a ^{3} }\) ; \(\displaystyle{ D=\left( 0;12\right) }\)
Liczę pochodną, aby sprawdzić monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ V(a)}\):
\(\displaystyle{ V'(a)=144-3a ^{2} }\)
I wychodzi, że w naszej dziedzinie, czyli od zera do dwunastu, funkcja rośnie od zera do \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3} }\), a potem już maleje, by przy końcu dziedziny, czyli przy \(\displaystyle{ a=12}\), zrównać się z zerem. Także w tej dziedzinie można wyznaczyć jedynie maksimum tej funkcji, ale nie minimum. Chyba, że coś z dziedziną pomieszałem, ale to w sumie niemożliwe, bo widziałem wykres tej funkcji. Musiałbym źle całą funkcję wyliczyć, w co wątpię, bo nie tylko ja to liczyłem.
Bardzo proszę o pomoc!
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne o polu powierzchni całkowitej \(\displaystyle{ Pc=432 \sqrt{3} }\). Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest najmniejsza.
Wydaje mi się, że powinna być do wyznaczenia objętość największa, a nie najmniejsza. Wrzucam swoje obliczenia:
\(\displaystyle{ V=P _{p} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ P _{p} = 6 \cdot \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{3a ^{2} \sqrt{3} }{2} }\)
\(\displaystyle{ H= \frac{144 \sqrt{3}-a ^{2} \sqrt{3} }{2a} }\)
\(\displaystyle{ V= \frac{9}{4} \left( 144a-a ^{3} \right) }\)
Tworzę funkcję objętości zależną od \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ V(a)=144a-a ^{3} }\) ; \(\displaystyle{ D=\left( 0;12\right) }\)
Liczę pochodną, aby sprawdzić monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ V(a)}\):
\(\displaystyle{ V'(a)=144-3a ^{2} }\)
I wychodzi, że w naszej dziedzinie, czyli od zera do dwunastu, funkcja rośnie od zera do \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3} }\), a potem już maleje, by przy końcu dziedziny, czyli przy \(\displaystyle{ a=12}\), zrównać się z zerem. Także w tej dziedzinie można wyznaczyć jedynie maksimum tej funkcji, ale nie minimum. Chyba, że coś z dziedziną pomieszałem, ale to w sumie niemożliwe, bo widziałem wykres tej funkcji. Musiałbym źle całą funkcję wyliczyć, w co wątpię, bo nie tylko ja to liczyłem.
Bardzo proszę o pomoc!
