Matematyka.pl

Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do okręgu o w punkcie \(\displaystyle{ A}\). Odcinek \(\displaystyle{ CD}\) jest cięciwą okręgu o równoległą do prostej \(\displaystyle{ k}\). Styczna do okręgu o w punkcie \(\displaystyle{ D}\) przecina prostą \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\). Odcinek \(\displaystyle{ BC}\) przecina okrąg o w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Dowieść,że prosta \(\displaystyle{ DE}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\) na dwie równe części.
Jest to zadanie 68 ze zbioru Pompego:
Z góry dziękuję za pomoc.

Kąty \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ ECD}\) są równe, gdyż \(\displaystyle{ k \parallel CD }\). Z kolei \(\displaystyle{ BD}\) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ (ACD)}\), zatem kąty \(\displaystyle{ EDB, ECD}\) są równe (twierdzenie o kącie dopisanym). Zatem kąty \(\displaystyle{ ABE, EDB}\) są równe, czyli z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kącie dopisanym wynika, że okrąg opisany na trójkącie\(\displaystyle{ BED}\) jest styczny do \(\displaystyle{ k}\). Prosta \(\displaystyle{ ED}\) jest więc osią potęgową okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ACD, EDB}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie przecięciem \(\displaystyle{ k}\) z \(\displaystyle{ ED}\). Potęgi punktu \(\displaystyle{ P}\) względem okręgów \(\displaystyle{ (ACD), (EDB)}\) są równe (bo \(\displaystyle{ ED}\) - oś potęgowa), czyli \(\displaystyle{ PA^2=PB^2}\) - koniec.