Matematyka.pl

Witam.
Potrzebuję pomocy w obliczeniu błędu gęstości. Z tego co rozumiem jest to różniczka zupełna. Ale różniczek jeszcze nie miałem i nie do końca rozumiem jak to obliczyć.
[ciach]

Warto zajrzeć do tych książek:
- Niepewność pomiarów J. Arendarski
- Podstawy metod opracowania pomiarów A.Bielski, A. Ciuryło
- Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki S. Szuba

Jest tam dobrze opisane szacowanie błędów metodą różniczki zupełnej.

Szybki poradnik:
1. Przypomnij sobie wzór na gęstość \(\displaystyle{ \rho = \frac{m}{V} }\)
2. Załóż, że gęstość jest funkcją dwóch zmiennych tj. \(\displaystyle{ \rho = \rho (m, V)}\)
3. Rozwiń tę że funkcję w szereg Taylora, a raczej Maclaurina:
\(\displaystyle{ \rho (m, V) = \rho (0, 0 ) + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} m + \frac{ \partial \rho}{ \partial V} V + .... }\)
4. Przesuń funkcję o wartości niepewności tj. \(\displaystyle{ \Delta m}\), \(\displaystyle{ \Delta V}\)
\(\displaystyle{ \rho (m + \Delta m, V + \Delta V) = \rho (0, 0 ) + \frac{ \partial \rho}{ \partial m} (m + \Delta m) + \frac{ \partial \rho}{ \partial V} (V + \Delta V) + .... }\)
5. Odejmij oba szeregi w celu znalezienia \(\displaystyle{ \Delta \rho}\)
\(\displaystyle{ \Delta \rho = \frac{ \partial \rho}{ \partial m} \Delta m + \frac{ \partial \rho}{ \partial V} \Delta V + .... }\)
6. Wykonaj obydwie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial m} = \frac{ \partial }{ \partial m} ( \frac{m}{V} ) = \frac{1}{V} }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \rho}{ \partial V} = \frac{ \partial }{ \partial V} ( \frac{m}{V} ) = - \frac{m}{V ^{2} } }\)
7. Oto otrzymujemy wzór na niepewność pomiaru funkcji dwóch zmiennych:
\(\displaystyle{ \Delta \rho = \frac{ \Delta m}{V} - \frac{m \Delta V}{V ^{2} } + ... }\)

Wyrazy z wyższymi pochodnymi są najczęściej bardzo małe, dlatego się je pomija, aczkolwiek można z nich korzystać. xD