Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Cześć! Mam problem z takim oto zadaniem. Jeśli to możliwe, prosiłabym o rozwiązanie wraz z wyjaśnieniem. Za wszelką pomoc dziękuję.
Niech \(\displaystyle{ X =\left[0,\pi\right]}\) , \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\mathcal{B}([0, \pi]) }\) oraz dla \(\displaystyle{ A\in\mathcal{S}}\) niech \(\displaystyle{ \mu(A)=\smallint_A \sin xdx}\).
Oblicz całkę \(\displaystyle{ \smallint_E fd\mu}\).
a) \(\displaystyle{ f(x)=x^2,~E=[0,\pi]}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=\sin x,~E=\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{8}\right]}\)
Re: Całka Lebesgue'a
: 24 kwie 2021, o 20:08
autor: Janusz Tracz
Niech \(\displaystyle{ \mathfrak{P}}\) to rodzina podziałów \(\displaystyle{ \mathcal{P}}\) dopuszczalnych przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,\pi\right] }\). Dla podziału \(\displaystyle{ \mathcal{P}\in \mathfrak{P}}\) definiujemy sumy całkowe funkcji \(\displaystyle{ f}\) górną i dolną:
Zatem na mocy lematu mamy \(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) -\mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right)=2\pi^2/n}\). Dlatego biorąc \(\displaystyle{ n \in \NN }\) takie, żeby przy ustalonym wcześniej \(\displaystyle{ \epsilon}\) zaszło \(\displaystyle{ \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right) -\mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}_{n}\right)<\epsilon}\) musimy wybierać \(\displaystyle{ n>2\pi^2/\epsilon }\). Faktycznie więc prawdą jest, że: \(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon>0\right)\left( \exists \mathcal{P}\in \mathfrak{P} \right)\left( \mathscr{U}\left( f,\mathcal{P}\right)- \mathscr{L}\left( f,\mathcal{P}\right)<\epsilon\right) }\) wszak dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) bierzemy \(\displaystyle{ n=\left[ 2\pi^2/\epsilon\right] +1 }\) i podział \(\displaystyle{ \mathcal{P}_n}\) jak wyżej. Policzmy teraz (korzysając z lematu, a dokładniej szkicu jego dowodu) jawne wzory na sumy całkowe. Poza tym sprawdźmy do czego dążą ów sumy, gdy \(\displaystyle{ n\to\infty}\). Mianowicie:
Chociaż chwila... teraz zauważyłem, że to chyba z twierdzenia Radona-Nikodýma powinno dać się zrobić. Pochodna Radona-Nikodýma \(\displaystyle{ \dd \mu =\sin x\dd x}\) więc wystarczy policzyć:
Co to znaczy po prostu? Rozwiń myśl. Jeśli przez po prostu rozumiesz twierdzenie o zamianie miary (+ garść technicznych faktów) to tak. O tym napisałem na samym końcu. Jak dotarło do mnie, że Twierdzenie Radona-Nikodýma działa.