ciąg rekurencyjny - granica

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: mm34639 » 18 paź 2007, o 19:27

mamy tak oto określony ciąg: \(\displaystyle{ x_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}}\)

niewątpliwie jest on rosnący, i różnice między kolejnymi wyrazami są coraz mniejsze, ale nie mam pojęcia czy dąży do nieskończoności, czy nie

próbowałem go rozpisać na różne sposoby żeby zobaczyć jakąś jego normalną postać, ale nie wyszło... :/

prosiłbym o coś co by mi pomogło znaleźć odpowiedź na pytanie o jego granicę...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: jarekp » 18 paź 2007, o 20:56

Nie jest to chyba w pełni formalny dowód ale moje rozumowanie jest takie:

jeśli by istniała granica \(\displaystyle{ g}\) ciągu Xn wtedy mielibyśmy:

\(\displaystyle{ g=g+\frac{1}{g} g\to +\infty}\)

a więc nie istnieje granica ciągu Xn co razem z faktem że ciąg ten jest rosnący daje nam
że ciąg Xn jest rozbieżny do nieskończoności

Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: mm34639 » 18 paź 2007, o 21:12

jeśli mam być szczery to nie rozumiem

ok, powiedzmy że istnieje \(\displaystyle{ g}\)

ale dlaczego \(\displaystyle{ g= g + \frac{1}{g}}\) ??? (skąd to wziąłeś)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: jarekp » 18 paź 2007, o 21:21

jeśli \(\displaystyle{ lim x_{n}=lim x_{n+1}=g}\)
to przechodząc z n do nieskończoności możemy przyjąć \(\displaystyle{ x_{n}=g}\)i\(\displaystyle{ x_{n+1}=g}\)

podstawiając w równaniu \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ g=g+\frac{1}{g}}\)

Awatar użytkownika
mm34639
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 28 mar 2005, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 61 razy

ciąg rekurencyjny - granica

Post autor: mm34639 » 18 paź 2007, o 22:28

dzięki

ODPOWIEDZ