Matematyka.pl

Wykaż, że prosta przechodząca przez dwa różne punkty \(\displaystyle{ P_{1}=\left(a_{1}, a_{2} \right), P_{2}=\left( b_{1}, b_{2} \right) }\) przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2} }\) ma równanie
a) \(\displaystyle{ \left(x_{1}-a_{1} \right) \left(b_{2}-a_{2} \right)-\left(b_{1}-a_{1}\right)\left(x_{2}-a_{2}\right) }\)
b) \(\displaystyle{ x_{1}a_{2}+x_{1}b_{1}+a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}-x_{1}b_{2}-a_{1}x_{1} }\)
Obydwa równania mam w poleceniu w postaci macierzowej (jako wyznaczniki odpowiednich macierzy), ale nie wiem jak zapisać macierz w Latexu, więc piszę taką postać wyznacznika. Proszę o pomoc z zadaniem, nie jestem pewna co to znaczy że prosta ma równanie takiej postaci.

Wektor \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}=[b_1-a_1,b_2-a_2]}\) rozpina prostą \(\displaystyle{ l}\), czyli dla każdego punktu \(\displaystyle{ P(x_1,x_2)\in l}\) wektor \(\displaystyle{ \vec{P_1P}=[x_1-a_1,x_2-a_2]}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}}\). Zatem
\(\displaystyle{ \vec{P_1P}\times\vec{P_1P_2}=\vec0\iff|\vec{P_1P}\times\vec{P_1P_2}|=0\iff
\begin{vmatrix}x_1-a_1&x_2-a_2\\ b_1-a_1&b_2-a_2 \end{vmatrix} =0}\)

Pozdrawiam
PS. W Twoim poście nie ma równań!