Strona 1 z 1
Ciągłość funkcji w danej topologii
: 21 kwie 2021, o 22:14
autor: anna_123
Jak sprawdzić czy dana funkcja jest ciągła w danej topologii \(\displaystyle{ T}\) na \(\displaystyle{ X}\), który jest przestrzenią liniowo uporządkowaną?
\(\displaystyle{ T = \{ A \subset X, \forall _{x,y \in} (x \in A \wedge x \leq y ) \Rightarrow y \in A\} }\).
Mam do sprawdzenia funkcje : \(\displaystyle{ f(x) = x^2, g(x) = x\mod 2,h(x) = \left \lfloor{x}\right \rfloor }\).
Sprawdziłam już ich ciągłość na topologii standardowej używając def: Funkcja \(\displaystyle{ f : X \to Y }\)jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru domkniętego \(\displaystyle{ K }\) w \(\displaystyle{ Y}\) zbiór\(\displaystyle{ f^{−1}(K)}\) jest domknięty w \(\displaystyle{ X}\). Mam jednak problem gdy mam sprawdzić ciągłość na innej topologii niż standardowa.
Re: Ciągłość funkcji w danej topologii
: 22 kwie 2021, o 00:03
autor: Janusz Tracz
A czym jest
\(\displaystyle{ X}\)? Jeśli to coś abstrakcyjnego to trzeba tam określić porządek
\(\displaystyle{ \le }\) oraz takie działania by te funkcje miały sens. Ale pewnie
\(\displaystyle{ X=\RR}\) wtedy o ile:
\(\displaystyle{ T = \{ A \subset X, \forall _{x,y \in} (x \in A \wedge x \leq y ) \Rightarrow y \in A\} }\)
miało wyglądać tak
\(\displaystyle{ T = \{ A \subset X, \forall x,y \in X \left( (x \in A \wedge x \leq y ) \Rightarrow y \in A\right) \} }\) to
\(\displaystyle{ T}\) jest rodziną zbiorów postaci
\(\displaystyle{ \left( \xi, \infty \right) }\) oraz
\(\displaystyle{ \left[ \eta, \infty \right) }\) poza
\(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz
\(\displaystyle{ \RR}\). Jeśli teraz mamy funkcję
\(\displaystyle{ f:\left( \RR,T\right) \rightarrow \left( \RR,T\right)}\) daną wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) to sprawdzenie jej ciągłości polega na ustaleniu zadzioru domkniętego i pokazaniu, że jego przeciwobraz jest domknięty (choć zwykle to się robi dla zbiorów otwartych ale to chyba wszystko jedno bo przeciwobrazy działają dobrze z dopełnieniami i te definicję są "dualnie" równoważne). A dowód nieciągłości polega na wskazaniu kontrprzykładu. No więc wydaje mi się, że wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left( - \infty ,-1\right) \right]=\varnothing\in T }\) mimo, że
\(\displaystyle{ \left( - \infty ,-1\right)^{c}\in T}\).
Co do
\(\displaystyle{ h(x) = \left \lfloor{x}\right \rfloor}\) to zauważ, że tam przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte (są w
\(\displaystyle{ T}\)). Sprawdziłem
\(\displaystyle{ 4}\) przypadki. przeciwobrazy
\(\displaystyle{ \left( \xi, \infty \right) }\) oraz
\(\displaystyle{ \left[ \eta, \infty \right) }\) oraz osobno
\(\displaystyle{ \varnothing}\) oraz
\(\displaystyle{ \RR}\). Wygląda na to, że
\(\displaystyle{ \left \lfloor{ \cdot }\right \rfloor : \left( \RR,T\right) \rightarrow \left( \RR,T\right)}\) jest ciągła.
Re: Ciągłość funkcji w danej topologii
: 22 kwie 2021, o 10:17
autor: Dasio11
Janusz Tracz pisze: ↑22 kwie 2021, o 00:03No więc wydaje mi się, że wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left( - \infty ,-1\right) \right]=\varnothing\in T }\) mimo, że
\(\displaystyle{ \left( - \infty ,-1\right)^{c}\in T}\).
Zbiór pusty jest domknięty, więc to nie jest kontrprzykład.
Co do zadania - można ogólnie zauważyć, że funkcje ciągłe względem podanej topologii to dokładnie funkcje niemalejące.
Re: Ciągłość funkcji w danej topologii
: 22 kwie 2021, o 12:53
autor: Janusz Tracz
Racja. Dziękuję za wskazanie błędu. Ale \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left( - \infty ,1\right) \right]}\) powinno zadziałać. Bo \(\displaystyle{ \left( - \infty ,1\right)}\) jest domknięty ale przeciwobraz nie jest domkniety.