Strona 1 z 1
Zbieżność szeregu
: 21 kwie 2021, o 15:40
autor: kt26420
Zadanie było zbadać szybką zbieżność szeregu $$\sqrt[n]{2}-1$$ , mam rozwiązanie, ale nie rozumiem tego kroku w rozwiązaniu:
$$\sqrt[n]{2}-1=(\sum_{k=0}^{n-1}2^{k/n})^{-1}$$
Re: Zbieżność szeregu
: 21 kwie 2021, o 16:02
autor: Premislav
Inne rozwiązanie: na mocy kryterium asymptotycznego (czy też ilorazowego) i znanej granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a, \ a>0}\) (bierzemy \(\displaystyle{ a=2}\) i ciąg \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{1}{n}}\)) widzimy, że szereg jest rozbieżny, bo \(\displaystyle{ \sim \frac{1}{n}}\).
A ta wskazówka jest dość dziwna, ale bardzo sprytna. Żeby udowodnić, ze tak jest, wystarczy znajomość wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ a_{1}+a_{1}q+\ldots+a_{1}q^{n-1}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}, \ q\neq 1}\)
Jak już to wiemy, to możemy oszacować
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=0}^{n}2^{\frac{k}{n}}\right)^{-1}>\left(\sum_{k=0}^{n-1}2\right)^{-1}=\frac{1}{2n}}\)
i kryterium porównawcze załatwia sprawę.