Matematyka.pl

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x^2-1}{x} } + \sqrt{ \frac{x-1}{x} } =x}\).

Łatwo widać, że wystarczy się ograniczyć do \(\displaystyle{ x\ge 1}\). Wówczas równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ x^3=\left(\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}\right)^{2}\\x^3=x^2+x-2+2\sqrt{(x-1)^{2}(x+1)}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ y=x^{2}-x-1}\), a równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ xy=-2+2\sqrt{xy+1}\\\left(\sqrt{xy+1}-1\right)^{2}=0}\)
Stąd mamy
\(\displaystyle{ xy+1=1}\), tj. \(\displaystyle{ x=0\vee y=0}\), czyli \(\displaystyle{ y=0}\), toteż
\(\displaystyle{ x^{2}-x-1=0}\), stąd \(\displaystyle{ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}\), a że \(\displaystyle{ x\ge 1}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)