Matematyka.pl

\(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\), ponadto \(\displaystyle{ A}\) jest pochłaniający i wypukły,

\(\displaystyle{ p_A(x) := \inf \left\{ \lambda > 0: x \in \lambda A\right\} , x \in A.}\)

Moim zadaniem jest wykazać, że

\(\displaystyle{ \left\{ x \in X: p_A(x) < 1\right\} \subset A}\)

Moja próba rozwiązania:
\(\displaystyle{ A}\) jest pochłaniający, więc \(\displaystyle{ 0 \in A.}\) Co razem z faktem, że \(\displaystyle{ A}\) jest wypukły daje: \(\displaystyle{ \lambda x \in A }\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ \lambda \in (0,1)}\)

teraz chętnie bym powiedział, że \(\displaystyle{ x \in \lambda^{-1}A \subset A}\)

tylko, że tak jest, gdy skalar jest mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\), a to niestety nie jest prawda.

Wnioskuję, że czegoś kompletnie muszę tu nie rozumieć. Będę wdzięczny za naprowadzenie.

Weź dowolny element zbioru po lewej stronie i zapisz, co z tego wynika.

Niech \(\displaystyle{ x_0}\) będzie dowolnie ustalonym elementem zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x\in X: p_A(x) < 1\right\} }\)

Rozważmy dwie opcje:
1. Jeżeli \(\displaystyle{ x_0 \in A,}\) to zawieranie jest oczywiste.

2. Jeżeli \(\displaystyle{ x_0 \in X \setminus A,}\) oraz dla dowolnego \(\displaystyle{ \lambda \le 1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \lambda A \subset A}\)

To istnieje \(\displaystyle{ \lambda > 1}\) takie, że \(\displaystyle{ \lambda x_0 \in A}\) (bo \(\displaystyle{ A}\) jest pochłaniający), więc \(\displaystyle{ x_0 \in \lambda^{-1}A}\) co jak już napisałem zawiera się w \(\displaystyle{ A}\). Co daje sprzeczność. Czyli nie ma takie \(\displaystyle{ x_0}\) należącego do \(\displaystyle{ \left\{ x\in X: p_A(x) < 1\right\}}\), który nie należy do \(\displaystyle{ A.}\)

Co w sumie z 1. daje żądaną inkluzję.

Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ \lambda > 1}\) ?

Ponieważ \(\displaystyle{ \lambda A \subset A,}\) gdy \(\displaystyle{ \lambda \le 1}\)

więc wtedy \(\displaystyle{ \lambda x_0 \in A}\), a tak miało nie być.

Nie rozumiem - w rozważanym przypadku ma zachodzić \(\displaystyle{ x_0 \notin A}\), ale przecież z tego nie wynika, że przykładowo \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x_0 \notin A}\).

Musisz raczej skorzystać z założenia, że \(\displaystyle{ p_A(x_0) < 1}\).

Chyba jestem przemęczony, bo sam nie wiem o co mi chodziło.

Jeszcze raz:
Niech \(\displaystyle{ x_0}\) będzie dowolnie ustalonym elementem zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x \in X: p_A(x) < 1\right\} }\)

zatem z definicji naszego zbioru \(\displaystyle{ p_A(x_0) < 1}\) co wraz z definicją funkcjonału daje wniosek, że istnieje \(\displaystyle{ \lambda < 1}\), taka że \(\displaystyle{ x_0 \in \lambda A.}\) Teraz mogę skorzystać z przytoczonego faktu, że dla \(\displaystyle{ \lambda < 1}\), \(\displaystyle{ \lambda A \subset A}\) co ostatecznie daje \(\displaystyle{ x_0 \in A.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x_0}\) był dowolnym elementem \(\displaystyle{ \left\{ x \in X: p_A(x) < 1\right\},}\) to \(\displaystyle{ \left\{ x \in X: p_A(x) < 1\right\} \subset A.}\)

Dodano po 2 dniach 10 godzinach 23 minutach 36 sekundach:
Jeżeli mógłbym prosić kogokolwiek o potwierdzenie czy dobrze rozumuję, to będę wdzięczny.

Potwierdzam. ;>