Matematyka.pl

Witam
Mam taki wielomian \(\displaystyle{ \frac{1}{8}x ^{4} - \frac{1}{2}x ^{3} -x ^{2}+6 }\) i muszę obliczyć jego miejsca zerowe. Wiem że są dwa. Pierwsze z nich obliczyłem z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Wyciągnąłem \(\displaystyle{ \frac{1}{8} }\) przed nawias i z dzielników wyrazu wolnego wyszło mi \(\displaystyle{ x _{1}=2 }\). I teraz nie potrafię obliczyć tego drugiego miejsca zerowego. Próbowałem grupować wielomian, dzielić go przez dwumian \(\displaystyle{ (x-2)}\) i dalej grupować, ale nic z tego. Jakim sposobem powinienem to zrobić ?

Bez wzorów Cardano nie uda Ci się znaleźć drugiego pierwiastka

Niekoniecznie:

\(\displaystyle{ x^3 - 2x^2 - 12x - 24 = 0 \\[1ex]
9x^3 - 18x^2 - 108x - 216 = 0 \\[1ex]
10x^3 = x^3 + 18x^2 + 108x + 216 \\[1ex]
10x^3 = (x+6)^3 \\[1ex]
10 = \left(1+\frac{6}{x}\right)^3 \\[1ex]
\sqrt[3]{10} = 1+\frac{6}{x} \\
x = \frac{6}{\sqrt[3]{10}-1}}\)

Czy jest jakiś sposób na określenie tego czy da się obliczyć miejsca zerowe wielomianu 3 stopnia bez używania wzorów Cardano ?

No wiadomo, że stosujesz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. W tym wypadku chcąc sprawdzić wszystko musiałbyś policzyć wartość wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}-12x-24 }\) dla takich wartości \(\displaystyle{ \left\{ \pm 1, \pm 2, \pm 3 \pm 4 \pm 6 \pm 12 \pm 24\right\} }\). Większość ludzi po policzeniu kilku wartości uzna to za syzyfową pracę. Oczywiście jeśli ktoś ma natchnienie tak jak Dasio to może próbować grupować wyrazy w jakiś sposób aby się udało dostać pierwiastek. Ja zawsze jak mam wielomian w którym na pierwszy rzut oka nie widzę co robić to wklepuję do Wolframa Alpha żeby mi podał pierwiastki.

kmarciniak1 pisze: ↑20 kwie 2021, o 18:05W tym wypadku chcąc sprawdzić wszystko musiałbyś policzyć wartość wielomianu \(\displaystyle{ x ^{3}-2x ^{2}-12x-24 }\) dla takich wartości \(\displaystyle{ \left\{ \pm 1, \pm 2, \pm 3 \pm 4 \pm 6 \pm 12 \pm 24\right\} }\).

Można sobie oszczędzić roboty zauważając, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem całkowitym \(\displaystyle{ x^3-2x^2-12x-24}\), to \(\displaystyle{ k-1}\) jest pierwiastkiem całkowitym \(\displaystyle{ (x+1)^3-2(x+1)^2-12(x+1)-24}\). Wyrazem wolnym ostatniego wielomianu jest wartość w zerze, czyli \(\displaystyle{ -37}\), a zatem znów stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych dostajemy, że \(\displaystyle{ k-1 \mid -37}\) czyli \(\displaystyle{ k \in \{ 0, 2, 38, -36 \}}\). Zostaje więc jedyny kandydat \(\displaystyle{ k=2}\).