Matematyka.pl

Podstawą ostrosłupa jest romb, którego bok ma długość \(\displaystyle{ 10}\). Dwie ściany boczne ostrosłupa \(\displaystyle{ 14}\) prostopadle do płaszczyzny podstawy i tworzą ze sobą kąt rozwarty \(\displaystyle{ \alpha}\) taki, że \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac34}\). Pozostałe ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod katem \(\displaystyle{ \beta}\), którego sinus jest równy \(\displaystyle{ \frac35.}\) Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Podpowiedzi :
1) Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) masz na ścianie bocznej.[edit] Patrz na dół.
2) Znając sinusa \(\displaystyle{ \alpha}\) możesz wyznaczyć cosinusa - oczywiście \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt rombu.

[edit] 1) To nie jest prawda.
Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest między odpowiednią wysokością ściany bocznej (o której mowa), a wysokością rombu (do tego przyda się wysokość ostrosłupa).

[edit1] Drugi lepszy pomysł - zająć się polem rombu (wtedy dorwiemy jego wysokość, a ta przyda się dalej.

Bok rombu \(\displaystyle{ a=10}\)

wysokość rombu \(\displaystyle{ h_r=a\cdot \sin\alpha\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ h_r=\frac{15}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin\beta=\frac35\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ \cos\beta=\frac45}\)

wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\), wysokość rombu \(\displaystyle{ h_r}\) i wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h_s}\)
tworzą trójkąt prostokątny o kącie \(\displaystyle{ \beta}\), więc

\(\displaystyle{ h_s=\frac{h_r}{\cos\beta}\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ h_s=\frac{75}{8}}\)

\(\displaystyle{ H=h_s\cdot\sin\beta\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ H=\frac{45}{8}}\)

pole powierzchni ściany prostopadłej do podstawy \(\displaystyle{ P_p=\frac12\cdot a\cdot H\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ P_p=\frac{225}{8}}\)

pole powierzchni ściany skośnej do podstawy \(\displaystyle{ P_s=\frac12\cdot a\cdot h_s\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ P_s=\frac{375}{8}}\)

pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(\displaystyle{ P_b=2\cdot P_p+2\cdot P_s\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ P_b=150}\)