Matematyka.pl

Udowodnić, że w pierścieniu skończonym liczba elementów nilpotentnych nie przekracza połowy wszystkich elementów pierścienia. Wykazać też, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieje pierścień o co najmniej \(\displaystyle{ n}\) elementach, w którym połowa jest nilpotentnych.

Zakładam, że pierścień jest niezerowy, przemienny z \(\displaystyle{ 1}\).
Jeśli element pierścienia \(\displaystyle{ x}\) jest nilpotentny, to należy do ideału maksymalnego tego pierścienia (a ogólniej, do dowolnego ideału pierwszego). Ideał maksymalny to w szczególności podgrupa, zatem rząd ideału maks. dzieli rząd pierścienia \(\displaystyle{ n}\). Wynika stąd, że elementów nilpotentnych jest co najwyżej połowa.

Dalej, w pierścieniu ilorazowym \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2[X] /(X^n)}\) elementów nilpotentnych jest dokładnie tyle co połowa elementów tegoż pierścienia. To rzecz jasna dowodzi żądanej własności

W zadaniu nie pisze, że pierścień ma być przemienny z jedynką lecz w takim pierścieniu nie musi być to prawdą, a co do połowy może być to też pierścień:

\(\displaystyle{ Z_{2^n}=\left\{ 0,1,2,3,4,...,2^n-1\right\} }\)

Każdy element parzysty jest nilpotentny...

np.: pierścień:

\(\displaystyle{ P=\left\{ 0,a,b\right\} }\)

\(\displaystyle{ a^2=0,b^2=0,0^1=0}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ \left\{ 0,a,b\right\} }\) to zwykła trzyelementowa grupa z dodawaniem...

\(\displaystyle{ a \cdot b=b \cdot a=0}\)

Plus rozdzielność...

W takim pierścieniu wszystkie elementy są nilpotentne...


Co ciekawe pierścień Karolexa i \(\displaystyle{ Z_{2^n}}\) są izomorficzne...

\(\displaystyle{ f(0+I)=0, f(1+I)=1, f(x+I)=3}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ I=(X^n)}\)

Ogólniej, jeśli weźmie się \(\displaystyle{ R}\) dowolną grupę abelową i zada się na \(\displaystyle{ R}\) strukturę pierścienia z zerowym mnożeniem, to dostajemy pierścień, w którym każdy element jest nilpotentny