Porządek na funkcjach
: 17 kwie 2021, o 01:26
Wczoraj udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ (Y, \le)}\) niepustym zbiorem liniowo uporządkowanym, to w zbiorze \(\displaystyle{ Y^X,}\) czyli w zbiorze wszystkich funkcji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to relacja, że jedna funkcja jest mniejsza od drugiej funkcji, gdy w każdym puncie dziedzin tych funkcji wykres funkcji mniejszej leży poniżej (lub na równi) od wykresu funkcji większej, taka relacja jest istotnie relacją porządku. Jednak łatwo można pokazać, że ten porządek nie musi być liniowy, gdyż dla dwóch funkcji wykres pierwszej funkcji może w pewnym punkcie może leżeć poniżej wykresu drugiej funkcji, a w innym punkcie może leżeć powyżej niż dla drugiej funkcji- dlatego wtedy żadna z tych dwóch funkcji nie jest mniejsza, i porządek nie musi być liniowy. Udowodniłem też, że jeśli w \(\displaystyle{ Y}\) (zachowując oznaczenia), jeśli w \(\displaystyle{ Y}\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in Y}\), to funkcja stale równa \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym względem porządku na funkcjach, podobnie jeśli w \(\displaystyle{ Y}\) jest element największy \(\displaystyle{ b\in Y}\), to funkcja stale równa \(\displaystyle{ b}\) jest elementem największym. Podobne zależności udowodniłem dla relacji na funkcjach (zachowując oznaczenia), takiej, że jedna funkcja jest większa od drugiej, gdy wykres jej leży w każdym punkcie dziedziny poniżej lub na równi niż wykres funkcji mniejszej, tzn. ze jest to również relacja porządku, ale nie liniowego, i też wyznaczyłem, przy pewnych założeniach elementy najmniejsze i największe. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Uściślijmy, w zbiorze \(\displaystyle{ Y^{X}}\), czyli w zbiorze wszystkich funkcji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), rozważamy relację \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\):
\(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_2 \Longleftrightarrow \hbox{ dla każdego } x\in X\hbox{: } f_1(x) \le f_2(x).
}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest relacją porządku w \(\displaystyle{ Y^{X}.}\)
Dowód:
Jeśli \(\displaystyle{ X=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ Y^X=\left\{ \hbox {funkcja pusta}\right\}}\), a wtedy ta relacja jest liniowym porządkiem w \(\displaystyle{ Y^{\emptyset}}\) ( jako relacja identyczności w zbiorze jednoelementowym). Załóżmy więc dalej, że \(\displaystyle{ X \neq \emptyset.}\)
Niech \(\displaystyle{ f\in Y^{X}}\). Pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ f\sqsubseteq f}\)( bo chcemy pokazać zwrotność). Niech więc \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy \(\displaystyle{ f(x)\in Y}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ \left( Y, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, więc \(\displaystyle{ \le}\) jest zwrotna, skąd \(\displaystyle{ f(x) \le f(x)}\). Z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), daje to relacje:\(\displaystyle{ f\sqsubseteq f}\). Relacja \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest więc zwrotna.
Aby pokazać antysymetrię, to weźmy \(\displaystyle{ f_1,f_2\in Y^X}\), takie, że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_2}\) i \(\displaystyle{ f_2\sqsubseteq f_1.}\) Wtedy \(\displaystyle{ f_1,f_2: X \rightarrow Y}\), i dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x);}\) podobnie druga relacja daje, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x).}\) Niech \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x)}\) i \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x)}\), ponieważ \(\displaystyle{ f_1(x), f_2(x)\in Y}\), i \(\displaystyle{ \le}\) jest antysymetryczna, wiec \(\displaystyle{ f_1(x)=f_2(x).}\) Z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f_1=f_2}\). A zatem relacja \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest antysymetryczna.
Aby pokazać przechodniość, weźmy trzy funkcje \(\displaystyle{ f_1,f_2, f_3\in Y^X}\), (równoważnie \(\displaystyle{ f_1,f_2,f_3:X \rightarrow Y}\)), takie, że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_2\sqsubseteq f_3}\) i pokażmy że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_3}\). Z założonych relacji otrzymujemy, ze:
dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x)}\), i
dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_3(x).}\)
Niech \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x)}\) i \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_3(x)}\), ponieważ \(\displaystyle{ f_1(x), f_2(x), f_3(x)\in Y}\), i relacja \(\displaystyle{ \le}\) jest przechodnia, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_3(x).}\) Z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), oznacza to, że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_3}\), relacja \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest więc przechodnia.
A zatem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest relacją porządku, i \(\displaystyle{ (Y^X,\sqsubseteq)}\) jest zbiorem uporządkowanym. \(\displaystyle{ \square}\)
Jednak nie musi to być zbiór liniowo uporządkowany, Aby podać kontrprzykład rozważmy przedział \(\displaystyle{ X=\left[ 0,1\right] }\), a za \(\displaystyle{ Y}\) połóżmy ten sam przedział z naturalnym porządkiem, wtedy \(\displaystyle{ (Y=\left[ 0,1\right] , \le _{[0,1] })}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym niepustym. Rozważmy dwie funkcje: \(\displaystyle{ f_1,f_2:X \rightarrow Y}\), dane jako \(\displaystyle{ f_1(x)=x, f_2(x)=1-x.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f_1(0)=0<1=f_2(0)}\), i \(\displaystyle{ f_1(1)=1>0=f_2(1)}\), a zatem \(\displaystyle{ f_1\not\sqsubseteq f_2}\) i \(\displaystyle{ f_2\not\sqsubseteq f_1}\), a zatem porządek \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) nie jest liniowy.
Wykażemy jeszcze, że jeśli w \(\displaystyle{ Y}\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in Y}\), to funkcja \(\displaystyle{ f_0:X \rightarrow Y}\) stale równa \(\displaystyle{ a}\), tzn.
\(\displaystyle{ f_0(x)=a}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy funkcja \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem najmniejszym, względem tego porządku na funkcjach.
W tym celu niech \(\displaystyle{ f\in Y^{X}.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ f_0\sqsubseteq f.}\) W tym celu weźmy \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x)\in Y}\), ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ Y}\), więc \(\displaystyle{ f_0(x)=a \le f(x)}\), więc z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ f_0\sqsubseteq f}\), a więc \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem najmniejszym.
Analogicznie, symetrycznie udowadniamy, że jeśli w \(\displaystyle{ Y}\) jest element największy \(\displaystyle{ b\in Y}\), to funkcja \(\displaystyle{ f_1:X \rightarrow Y}\) stale równa \(\displaystyle{ b}\), tzn. \(\displaystyle{ f_1(x)=b}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), taka funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest elementem największym. Dowód jest analogiczny.
Rozważmy jeszcze, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \left( Y, \le\right)}\) niepustym zbiorem liniowo uporządkowanym, to w zbiorze \(\displaystyle{ Y^X}\), rozważmy relacje \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\):
\(\displaystyle{ f_1\preccurlyeq f_2 \Longleftrightarrow \hbox { dla każdego } x\in X: f_2(x) \le f_1(x).}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\) jest relacją porządku w \(\displaystyle{ Y^X}\). W tym celu wykażemy, że \(\displaystyle{ (\preccurlyeq)=\left( \sqsubseteq ^{-1}\right) , }\) gdzie \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest poprzednio rozważanym porządkiem w \(\displaystyle{ Y^X.}\)
Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ (\sqsubseteq) \subset Y^X \times Y^X}\), więc \(\displaystyle{ (\sqsubseteq) ^{-1}\subset Y^X \times Y^X}\), i \(\displaystyle{ \preccurlyeq\subset Y^X \times Y^X}\), a więc są to relacje w \(\displaystyle{ Y^X}\).
Żeby było łatwiej tymi symbolami operować, to (oznaczmy \(\displaystyle{ R:=\left( \preccurlyeq\right)}\), \(\displaystyle{ S:=\left( \sqsubseteq\right) ^{-1} }\), \(\displaystyle{ T:=\sqsubseteq}\), wtedy \(\displaystyle{ S^{-1}=\sqsubseteq=T}\), a zatem \(\displaystyle{ T^{-1}=\left( S ^{-1}\right) ^{-1}=S}\)), i pokażmy, że \(\displaystyle{ R=S.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in S}\), wtedy \(\displaystyle{ (f_1, f_2)\in T^{-1}}\), a zatem z określenia relacji odwrotnej \(\displaystyle{ (f_2, f_1)\in T}\), inaczej mówiąc \(\displaystyle{ f_2(T) f_1}\) a zatem \(\displaystyle{ f_2\sqsubseteq f_1}\), a zatem z definicji \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) otrzymujemy, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x)}\), co oznacza dokładnie, że \(\displaystyle{ f_1\preccurlyeq f_2}\), czyli \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in R}\). Zatem \(\displaystyle{ S\subset R.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in R}\), to innymi słowy \(\displaystyle{ f_1(R) f_2}\), czyli \(\displaystyle{ f_1\preccurlyeq f_2}\), a zatem dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x)}\) , co oznacza dokładnie, że \(\displaystyle{ f_2\sqsubseteq f_1}\), a zatem \(\displaystyle{ f_1 (\sqsubseteq) ^{-1} f_2}\), czyli \(\displaystyle{ f_1(S) f_2}\), inaczej mówiąc \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in S}\). Zatem \(\displaystyle{ R\subset S}\).
Więc \(\displaystyle{ R=S}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) =\left( \sqsubseteq ^{-1}\right) }\), ponieważ wcześniej wykazałem, że \(\displaystyle{ (\sqsubseteq) }\) jest relacją porządku, więc również \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) =\left( \sqsubseteq ^{-1}\right) }\) jako relacja odwrotna do relacji porządku jest relacją porządku. \(\displaystyle{ \square}\)
Również nie musi być to liniowy porządek. Wystarczy rozważyć ten sam kontrprzykład co poprzedni, wtedy porządek \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) nie jest liniowy, zatem również \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\) nie jest liniowy, gdyż gdyby był liniowy to również porządek \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) ^{-1} }\)byłby liniowy, co wobec tego, że \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) ^{-1}=\left(\sqsubseteq ^{-1}\right) ^{-1}=\left( \sqsubseteq\right)}\) oznaczałoby, że \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest liniowy- sprzeczność. \(\displaystyle{ \square }\)
Zauważmy też, że jeśli element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ Y}\), to funkcja \(\displaystyle{ f_0(x)=a}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), funkcja stale równa \(\displaystyle{ a}\), jest elementem największym względem \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\). Wiemy bowiem już, że funkcja \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem najmniejszym względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), zatem funkcja \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem największym względem \(\displaystyle{ \left( \sqsubseteq^{-1} \right) =\left( \preccurlyeq\right) .}\)
Podobnie, jesli element \(\displaystyle{ b\in Y}\) jest największy w \(\displaystyle{ Y}\), to funkcja stale równa \(\displaystyle{ b}\) jest elementem najmniejszym względem \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\). Wiemy już bowiem, że funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest elementem największym względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), a więc funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest elementem najmniejszym względem \(\displaystyle{ \left( \sqsubseteq ^{-1}\right) =\left( \preccurlyeq\right) .\square }\)
Uściślijmy, w zbiorze \(\displaystyle{ Y^{X}}\), czyli w zbiorze wszystkich funkcji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), rozważamy relację \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\):
\(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_2 \Longleftrightarrow \hbox{ dla każdego } x\in X\hbox{: } f_1(x) \le f_2(x).
}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest relacją porządku w \(\displaystyle{ Y^{X}.}\)
Dowód:
Jeśli \(\displaystyle{ X=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ Y^X=\left\{ \hbox {funkcja pusta}\right\}}\), a wtedy ta relacja jest liniowym porządkiem w \(\displaystyle{ Y^{\emptyset}}\) ( jako relacja identyczności w zbiorze jednoelementowym). Załóżmy więc dalej, że \(\displaystyle{ X \neq \emptyset.}\)
Niech \(\displaystyle{ f\in Y^{X}}\). Pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ f\sqsubseteq f}\)( bo chcemy pokazać zwrotność). Niech więc \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy \(\displaystyle{ f(x)\in Y}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ \left( Y, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, więc \(\displaystyle{ \le}\) jest zwrotna, skąd \(\displaystyle{ f(x) \le f(x)}\). Z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), daje to relacje:\(\displaystyle{ f\sqsubseteq f}\). Relacja \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest więc zwrotna.
Aby pokazać antysymetrię, to weźmy \(\displaystyle{ f_1,f_2\in Y^X}\), takie, że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_2}\) i \(\displaystyle{ f_2\sqsubseteq f_1.}\) Wtedy \(\displaystyle{ f_1,f_2: X \rightarrow Y}\), i dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x);}\) podobnie druga relacja daje, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x).}\) Niech \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x)}\) i \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x)}\), ponieważ \(\displaystyle{ f_1(x), f_2(x)\in Y}\), i \(\displaystyle{ \le}\) jest antysymetryczna, wiec \(\displaystyle{ f_1(x)=f_2(x).}\) Z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f_1=f_2}\). A zatem relacja \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest antysymetryczna.
Aby pokazać przechodniość, weźmy trzy funkcje \(\displaystyle{ f_1,f_2, f_3\in Y^X}\), (równoważnie \(\displaystyle{ f_1,f_2,f_3:X \rightarrow Y}\)), takie, że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_2\sqsubseteq f_3}\) i pokażmy że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_3}\). Z założonych relacji otrzymujemy, ze:
dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x)}\), i
dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_3(x).}\)
Niech \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_2(x)}\) i \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_3(x)}\), ponieważ \(\displaystyle{ f_1(x), f_2(x), f_3(x)\in Y}\), i relacja \(\displaystyle{ \le}\) jest przechodnia, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f_1(x) \le f_3(x).}\) Z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), oznacza to, że \(\displaystyle{ f_1\sqsubseteq f_3}\), relacja \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest więc przechodnia.
A zatem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest relacją porządku, i \(\displaystyle{ (Y^X,\sqsubseteq)}\) jest zbiorem uporządkowanym. \(\displaystyle{ \square}\)
Jednak nie musi to być zbiór liniowo uporządkowany, Aby podać kontrprzykład rozważmy przedział \(\displaystyle{ X=\left[ 0,1\right] }\), a za \(\displaystyle{ Y}\) połóżmy ten sam przedział z naturalnym porządkiem, wtedy \(\displaystyle{ (Y=\left[ 0,1\right] , \le _{[0,1] })}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym niepustym. Rozważmy dwie funkcje: \(\displaystyle{ f_1,f_2:X \rightarrow Y}\), dane jako \(\displaystyle{ f_1(x)=x, f_2(x)=1-x.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f_1(0)=0<1=f_2(0)}\), i \(\displaystyle{ f_1(1)=1>0=f_2(1)}\), a zatem \(\displaystyle{ f_1\not\sqsubseteq f_2}\) i \(\displaystyle{ f_2\not\sqsubseteq f_1}\), a zatem porządek \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) nie jest liniowy.
Wykażemy jeszcze, że jeśli w \(\displaystyle{ Y}\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in Y}\), to funkcja \(\displaystyle{ f_0:X \rightarrow Y}\) stale równa \(\displaystyle{ a}\), tzn.
\(\displaystyle{ f_0(x)=a}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), wtedy funkcja \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem najmniejszym, względem tego porządku na funkcjach.
W tym celu niech \(\displaystyle{ f\in Y^{X}.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ f_0\sqsubseteq f.}\) W tym celu weźmy \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x)\in Y}\), ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ Y}\), więc \(\displaystyle{ f_0(x)=a \le f(x)}\), więc z dowolności \(\displaystyle{ x\in X}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ f_0\sqsubseteq f}\), a więc \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem najmniejszym.
Analogicznie, symetrycznie udowadniamy, że jeśli w \(\displaystyle{ Y}\) jest element największy \(\displaystyle{ b\in Y}\), to funkcja \(\displaystyle{ f_1:X \rightarrow Y}\) stale równa \(\displaystyle{ b}\), tzn. \(\displaystyle{ f_1(x)=b}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), taka funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest elementem największym. Dowód jest analogiczny.
Rozważmy jeszcze, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \left( Y, \le\right)}\) niepustym zbiorem liniowo uporządkowanym, to w zbiorze \(\displaystyle{ Y^X}\), rozważmy relacje \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\):
\(\displaystyle{ f_1\preccurlyeq f_2 \Longleftrightarrow \hbox { dla każdego } x\in X: f_2(x) \le f_1(x).}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\) jest relacją porządku w \(\displaystyle{ Y^X}\). W tym celu wykażemy, że \(\displaystyle{ (\preccurlyeq)=\left( \sqsubseteq ^{-1}\right) , }\) gdzie \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest poprzednio rozważanym porządkiem w \(\displaystyle{ Y^X.}\)
Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ (\sqsubseteq) \subset Y^X \times Y^X}\), więc \(\displaystyle{ (\sqsubseteq) ^{-1}\subset Y^X \times Y^X}\), i \(\displaystyle{ \preccurlyeq\subset Y^X \times Y^X}\), a więc są to relacje w \(\displaystyle{ Y^X}\).
Żeby było łatwiej tymi symbolami operować, to (oznaczmy \(\displaystyle{ R:=\left( \preccurlyeq\right)}\), \(\displaystyle{ S:=\left( \sqsubseteq\right) ^{-1} }\), \(\displaystyle{ T:=\sqsubseteq}\), wtedy \(\displaystyle{ S^{-1}=\sqsubseteq=T}\), a zatem \(\displaystyle{ T^{-1}=\left( S ^{-1}\right) ^{-1}=S}\)), i pokażmy, że \(\displaystyle{ R=S.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in S}\), wtedy \(\displaystyle{ (f_1, f_2)\in T^{-1}}\), a zatem z określenia relacji odwrotnej \(\displaystyle{ (f_2, f_1)\in T}\), inaczej mówiąc \(\displaystyle{ f_2(T) f_1}\) a zatem \(\displaystyle{ f_2\sqsubseteq f_1}\), a zatem z definicji \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) otrzymujemy, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x)}\), co oznacza dokładnie, że \(\displaystyle{ f_1\preccurlyeq f_2}\), czyli \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in R}\). Zatem \(\displaystyle{ S\subset R.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in R}\), to innymi słowy \(\displaystyle{ f_1(R) f_2}\), czyli \(\displaystyle{ f_1\preccurlyeq f_2}\), a zatem dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\): \(\displaystyle{ f_2(x) \le f_1(x)}\) , co oznacza dokładnie, że \(\displaystyle{ f_2\sqsubseteq f_1}\), a zatem \(\displaystyle{ f_1 (\sqsubseteq) ^{-1} f_2}\), czyli \(\displaystyle{ f_1(S) f_2}\), inaczej mówiąc \(\displaystyle{ (f_1,f_2)\in S}\). Zatem \(\displaystyle{ R\subset S}\).
Więc \(\displaystyle{ R=S}\), czyli \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) =\left( \sqsubseteq ^{-1}\right) }\), ponieważ wcześniej wykazałem, że \(\displaystyle{ (\sqsubseteq) }\) jest relacją porządku, więc również \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) =\left( \sqsubseteq ^{-1}\right) }\) jako relacja odwrotna do relacji porządku jest relacją porządku. \(\displaystyle{ \square}\)
Również nie musi być to liniowy porządek. Wystarczy rozważyć ten sam kontrprzykład co poprzedni, wtedy porządek \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) nie jest liniowy, zatem również \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\) nie jest liniowy, gdyż gdyby był liniowy to również porządek \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) ^{-1} }\)byłby liniowy, co wobec tego, że \(\displaystyle{ \left( \preccurlyeq\right) ^{-1}=\left(\sqsubseteq ^{-1}\right) ^{-1}=\left( \sqsubseteq\right)}\) oznaczałoby, że \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest liniowy- sprzeczność. \(\displaystyle{ \square }\)
Zauważmy też, że jeśli element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ Y}\), to funkcja \(\displaystyle{ f_0(x)=a}\), dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), funkcja stale równa \(\displaystyle{ a}\), jest elementem największym względem \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\). Wiemy bowiem już, że funkcja \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem najmniejszym względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), zatem funkcja \(\displaystyle{ f_0}\) jest elementem największym względem \(\displaystyle{ \left( \sqsubseteq^{-1} \right) =\left( \preccurlyeq\right) .}\)
Podobnie, jesli element \(\displaystyle{ b\in Y}\) jest największy w \(\displaystyle{ Y}\), to funkcja stale równa \(\displaystyle{ b}\) jest elementem najmniejszym względem \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\). Wiemy już bowiem, że funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest elementem największym względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), a więc funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest elementem najmniejszym względem \(\displaystyle{ \left( \sqsubseteq ^{-1}\right) =\left( \preccurlyeq\right) .\square }\)