Matematyka.pl

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{17^n} = \frac{17}{16}+S=17S = \frac{17}{256}?$$ Czy poprawnie policzyłam?

A co to jest \(\displaystyle{ S}\) ?

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑15 kwie 2021, o 18:53 A co to jest \(\displaystyle{ S}\) ?
JK

$$S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^4} +... $$

A skąd wzięłaś te równości?

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑15 kwie 2021, o 22:11 A skąd wzięłaś te równości?

JK

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{17^n} = \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} + ... = S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3} = \left( \frac{1}{17} +\frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + ...\right) + \frac{1}{17} \cdot \left( \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} +... \right) = S $$
$$ \frac{ \frac{1}{17} }{1- \frac{1}{17} } + \frac{1}{17}S = S $$
$$ S = \frac{17}{256} $$

kt26420 pisze: ↑17 kwie 2021, o 11:54 $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{17^n} = \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} + ... = S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3} = \left( \frac{1}{17} +\frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + ...\right) + \frac{1}{17} \cdot \left( \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} +... \right) = S $$

To jest jakaś magia. Skąd niby te równości?

JK

robiłam za tym przykładem

Nie zamierzam oglądać filmów, po prostu stwierdziłem, że te równości nie mają sensu. Wytłumaczenie, że tak wyglądają, bo naśladują jakiś inny przykład to żadne wytłumaczenie.

Najpierw piszesz

kt26420 pisze: ↑15 kwie 2021, o 19:55 \(\displaystyle{ S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^4} +...}\)

a chwil później piszesz

kt26420 pisze: ↑17 kwie 2021, o 11:54 \(\displaystyle{ \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} + ... = S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3}}\)

Gdzie tu jest sens?

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑17 kwie 2021, o 14:05 Nie zamierzam oglądać filmów, po prostu stwierdziłem, że te równości nie mają sensu. Wytłumaczenie, że tak wyglądają, bo naśladują jakiś inny przykład to żadne wytłumaczenie.

Najpierw piszesz

kt26420 pisze: ↑15 kwie 2021, o 19:55 \(\displaystyle{ S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^4} +...}\)

a chwil później piszesz

kt26420 pisze: ↑17 kwie 2021, o 11:54 \(\displaystyle{ \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} + ... = S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^3}}\)

Gdzie tu jest sens?

JK

Przepraszam, najpierw niepoprawnie napisałam, że
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{17} + \frac{1}{17^2} + \frac{1}{17^3} + \frac{1}{17^4} +...}\), musiało być
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} + \frac{4}{17^4} +...}\)

kt26420 pisze: ↑17 kwie 2021, o 14:11musiało być
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{17} + \frac{2}{17^2} + \frac{3}{17^3} + \frac{4}{17^4} +...}\)

No i co dalej?

JK