Teoria miary Lebesgue'a w książce Rudina - pytanie
: 15 kwie 2021, o 13:40
Dzień dobry, (bardzo proszę o pomoc, niestety całkowicie się nie odnajduję w końcówce uzasadnienia, chyba przytoczyłem wszystko co istotne aby móc rozmawiać o moim problemie - sporą część wprost przepisałem z książki Rudina).
czy mógłbym poprosić szanownych użytkowników o pomoc w zrozumieniu następującej kwestii, najpierw przygotujemy odpowiednią terminologię z tej książki.
Część I
Niech \(\displaystyle{ I = \left\{ x \in \RR : a < x < b , a,b \in \RR\right\} }\) będzie zbiorem który nazwiemy przedziałem.
Powiemy że zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest zbiorem elementarnym gdy jest sumą skończonej ilości przedziałów.
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) będzie rodziną wszystkich zbiorów elementarnych.
Teraz definiujemy funkcję zbioru \(\displaystyle{ \rho}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) taką że dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal{E} }\) mamy \(\displaystyle{ \rho(A) \in \RR}\).
Dodatkowo powiemy że \(\displaystyle{ \rho}\) jest addytywna i nieujemna i skończona gdy dla zbiorów \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},.., A_{n}}\) zachodzą zależności :
1. Dla każdego \(\displaystyle{ A_{i}, i= 1,...,n}\) mamy \(\displaystyle{ 0 < \rho(A_{i}) < \infty}\) oraz
2. \(\displaystyle{ \rho( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n}\rho(A_{i}) }\)
Powiemy również że \(\displaystyle{ \rho}\) określona na \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) jest \(\displaystyle{ regularna}\) gdy ma następującą własność : Dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal{E}}\) istnieje \(\displaystyle{ F,G \in \mathcal{E}}\), \(\displaystyle{ F }\) - domknięty, \(\displaystyle{ G}\)- otwarty, \(\displaystyle{ F \subset A \subset G}\) i \(\displaystyle{ \rho(G) - \epsilon \le \rho(A) \le \rho(F)+\epsilon}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\).
Część II
Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie addytywna, regularna, nieujemna i skończona na \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\). Niech \(\displaystyle{ E \subset \RR^{n}}\) i rozważmy przeliczalne pokrycia \(\displaystyle{ E}\) otwartymi zbiorami elementarnymi \(\displaystyle{ A_{i}}\), czyli \(\displaystyle{ E \subset \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_{i} }\).
Miarę zewnętrzną odpowiadającą funkcji \(\displaystyle{ \mu}\) definiujemy jako \(\displaystyle{ \mu^{*}(E) = \inf \sum_{i = 1}^{\infty}\mu(A_{i}) }\).
Część III Niech \(\displaystyle{ S(A,B) = A \setminus B \cup B\setminus A}\) (różnica symetryczna zbiorów) i \(\displaystyle{ d(A,B) = \mu^{*}(S(A,B))}\)
Piszemy że \(\displaystyle{ A_{n} \rightarrow A}\) gdy \(\displaystyle{ d(A,A_{n}) = 0}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).
Teraz wprowadzamy dwie rodziny zbiorów : Jeśli istnieje ciąg \(\displaystyle{ (A_{n})}\) zbiorów elementarnych taki, że \(\displaystyle{ A_{n} \rightarrow A}\) to mówimy że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończenie \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzalny i piszemy \(\displaystyle{ A \in M_{F}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest sumą przeliczlanej rodziny skończenie \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzlanych zbiorów, to mówimy że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \mu}\) - mierzalny i piszemy \(\displaystyle{ A \in M(\mu) }\)
Mój problem : Chcemy pokazać że \(\displaystyle{ M(\mu)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścieniem i \(\displaystyle{ \mu^{*}}\) jest przeliczalnie addytywna na \(\displaystyle{ M(\mu)}\). Przyjmijemy na wiarę(bo to rozumiem) że \(\displaystyle{ M_{F}}\) jest pierścieniem i \(\displaystyle{ \mu^{*}}\) jest addytywna na \(\displaystyle{ M_{F}}\). Niech teraz \(\displaystyle{ A \in M(\mu)}\). Zatem \(\displaystyle{ A}\) może być przedstawiony jako suma przeliczalnej rodziny rozłącznych(też na wiare, to prosty fakt) zbiorów \(\displaystyle{ A_{i}}\) należących do \(\displaystyle{ M_{F}}\). Dodatkowo zachodzi \(\displaystyle{ (**)}\) \(\displaystyle{ \mu^{*}(A) = \sum_{i = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{i})}\).
Przyjmijmy że \(\displaystyle{ \mu^{*}(A)}\) jest skończona. Przyjmijmy \(\displaystyle{ B_{n} = A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{n}}\). Wtedy z równości (**) mamy \(\displaystyle{ d(A,B_{n}) = \mu^{*} ( \bigcup_{i = n+1}^{\infty}A_{i}) = \sum_{i = n+1}^{\infty}\mu^{*}(A_{i}) \rightarrow 0}\). DLACZEGO? A poniżej to bardzo proszę o jakąś pomoc, wskazałem niezrozumiałe fragmenty.
I teraz jest fakt który kompletnie jest dla mnie nie zrozumiały : Z powyższczego mamy że \(\displaystyle{ B_{n} \rightarrow A}\) a ponieważ \(\displaystyle{ B_{n} \in M_{F}(\mu)}\) to łatwo sprawdzić(jak? nie widze tego) że \(\displaystyle{ A \in M_{F}(\mu)}\). W ten sposób pokazano że \(\displaystyle{ A \in M_{F}(\mu)}\), jeśli \(\displaystyle{ A \in M(\mu)}\) i \(\displaystyle{ \mu^{*}(A) < \infty}\).
A teraz jest oczywiste że (**) jest przeliczalnie addytywne na \(\displaystyle{ M(\mu)}\). Nie rozumiem....
Pozostało pokazać że \(\displaystyle{ M(\mu)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\) - pierścieniem. Argument jest taki że jeśli \(\displaystyle{ A_{n}}\), \(\displaystyle{ n = 1,2,3... }\) , to \(\displaystyle{ \bigcup_{n = 1}^{\infty} \in M(\mu)}\) co niby jest oczywiste - ale niby jak? Co to za dowód?
czy mógłbym poprosić szanownych użytkowników o pomoc w zrozumieniu następującej kwestii, najpierw przygotujemy odpowiednią terminologię z tej książki.
Część I
Niech \(\displaystyle{ I = \left\{ x \in \RR : a < x < b , a,b \in \RR\right\} }\) będzie zbiorem który nazwiemy przedziałem.
Powiemy że zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest zbiorem elementarnym gdy jest sumą skończonej ilości przedziałów.
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) będzie rodziną wszystkich zbiorów elementarnych.
Teraz definiujemy funkcję zbioru \(\displaystyle{ \rho}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) taką że dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal{E} }\) mamy \(\displaystyle{ \rho(A) \in \RR}\).
Dodatkowo powiemy że \(\displaystyle{ \rho}\) jest addytywna i nieujemna i skończona gdy dla zbiorów \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},.., A_{n}}\) zachodzą zależności :
1. Dla każdego \(\displaystyle{ A_{i}, i= 1,...,n}\) mamy \(\displaystyle{ 0 < \rho(A_{i}) < \infty}\) oraz
2. \(\displaystyle{ \rho( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n}\rho(A_{i}) }\)
Powiemy również że \(\displaystyle{ \rho}\) określona na \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) jest \(\displaystyle{ regularna}\) gdy ma następującą własność : Dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal{E}}\) istnieje \(\displaystyle{ F,G \in \mathcal{E}}\), \(\displaystyle{ F }\) - domknięty, \(\displaystyle{ G}\)- otwarty, \(\displaystyle{ F \subset A \subset G}\) i \(\displaystyle{ \rho(G) - \epsilon \le \rho(A) \le \rho(F)+\epsilon}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\).
Część II
Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie addytywna, regularna, nieujemna i skończona na \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\). Niech \(\displaystyle{ E \subset \RR^{n}}\) i rozważmy przeliczalne pokrycia \(\displaystyle{ E}\) otwartymi zbiorami elementarnymi \(\displaystyle{ A_{i}}\), czyli \(\displaystyle{ E \subset \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_{i} }\).
Miarę zewnętrzną odpowiadającą funkcji \(\displaystyle{ \mu}\) definiujemy jako \(\displaystyle{ \mu^{*}(E) = \inf \sum_{i = 1}^{\infty}\mu(A_{i}) }\).
Część III Niech \(\displaystyle{ S(A,B) = A \setminus B \cup B\setminus A}\) (różnica symetryczna zbiorów) i \(\displaystyle{ d(A,B) = \mu^{*}(S(A,B))}\)
Piszemy że \(\displaystyle{ A_{n} \rightarrow A}\) gdy \(\displaystyle{ d(A,A_{n}) = 0}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).
Teraz wprowadzamy dwie rodziny zbiorów : Jeśli istnieje ciąg \(\displaystyle{ (A_{n})}\) zbiorów elementarnych taki, że \(\displaystyle{ A_{n} \rightarrow A}\) to mówimy że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończenie \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzalny i piszemy \(\displaystyle{ A \in M_{F}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest sumą przeliczlanej rodziny skończenie \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzlanych zbiorów, to mówimy że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \mu}\) - mierzalny i piszemy \(\displaystyle{ A \in M(\mu) }\)
Mój problem : Chcemy pokazać że \(\displaystyle{ M(\mu)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-pierścieniem i \(\displaystyle{ \mu^{*}}\) jest przeliczalnie addytywna na \(\displaystyle{ M(\mu)}\). Przyjmijemy na wiarę(bo to rozumiem) że \(\displaystyle{ M_{F}}\) jest pierścieniem i \(\displaystyle{ \mu^{*}}\) jest addytywna na \(\displaystyle{ M_{F}}\). Niech teraz \(\displaystyle{ A \in M(\mu)}\). Zatem \(\displaystyle{ A}\) może być przedstawiony jako suma przeliczalnej rodziny rozłącznych(też na wiare, to prosty fakt) zbiorów \(\displaystyle{ A_{i}}\) należących do \(\displaystyle{ M_{F}}\). Dodatkowo zachodzi \(\displaystyle{ (**)}\) \(\displaystyle{ \mu^{*}(A) = \sum_{i = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{i})}\).
Przyjmijmy że \(\displaystyle{ \mu^{*}(A)}\) jest skończona. Przyjmijmy \(\displaystyle{ B_{n} = A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{n}}\). Wtedy z równości (**) mamy \(\displaystyle{ d(A,B_{n}) = \mu^{*} ( \bigcup_{i = n+1}^{\infty}A_{i}) = \sum_{i = n+1}^{\infty}\mu^{*}(A_{i}) \rightarrow 0}\). DLACZEGO? A poniżej to bardzo proszę o jakąś pomoc, wskazałem niezrozumiałe fragmenty.
I teraz jest fakt który kompletnie jest dla mnie nie zrozumiały : Z powyższczego mamy że \(\displaystyle{ B_{n} \rightarrow A}\) a ponieważ \(\displaystyle{ B_{n} \in M_{F}(\mu)}\) to łatwo sprawdzić(jak? nie widze tego) że \(\displaystyle{ A \in M_{F}(\mu)}\). W ten sposób pokazano że \(\displaystyle{ A \in M_{F}(\mu)}\), jeśli \(\displaystyle{ A \in M(\mu)}\) i \(\displaystyle{ \mu^{*}(A) < \infty}\).
A teraz jest oczywiste że (**) jest przeliczalnie addytywne na \(\displaystyle{ M(\mu)}\). Nie rozumiem....
Pozostało pokazać że \(\displaystyle{ M(\mu)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\) - pierścieniem. Argument jest taki że jeśli \(\displaystyle{ A_{n}}\), \(\displaystyle{ n = 1,2,3... }\) , to \(\displaystyle{ \bigcup_{n = 1}^{\infty} \in M(\mu)}\) co niby jest oczywiste - ale niby jak? Co to za dowód?