Matematyka.pl

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych różnych od zera zachodzi poniższa nierówność:
\(\displaystyle{ 2x^2+5y^2+3z^2-6xy-2xz+5yz>0}\)
Spędziłam nad tym zadaniem sporo czasu i nic nie przychodzi mi do głowy, kombinowałam między innymi ze wzorem skróconego mnożenia dla trzech wyrażeń ponieważ pachniało mi tutaj nim od samego początku, ale do niczego konkretnego dojść mi się nie udało \(\displaystyle{ (a-b-c)^2}\).

U pana Kurlandczyka w Wędrówkach po krainie nierówności był sposób na tego typu nierówności. Po kolei systematycznie dopełniasz do kwadratu, zaczynając od wyrażeń z iksem na przykład, potem przechodzisz do tych wyrażeń, które Ci się nie zwinęły i zawierają np. igrek, ale już nie iks, itd.
\(\displaystyle{ 2x^{2}+5y^{2}+3z^{2}-6xy-2xz+5yz\\=2x^{2}-4x\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}z\right)+2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}z\right)^{2}-2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}z\right)^{2}+5y^{2}+5yz+3z^{2}\\=2\left(x-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z\right)^{2}+\frac{1}{2}y^{2}+2yz+\frac{5}{2}z^{2}\\=2\left(x-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(y^{2}+4yz+4z^{2}\right)+\frac{1}{2}z^{2}\\=2\left(x-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z\right)^{2}+\frac{1}{2}(y+2z)^{2}+\frac{1}{2}z^{2}}\)

No i suma kwadratów oczywiście jest nieujemna, a żeby była zerem, to te wszystkie podnoszone do kwadratu wyrażenia muszą być zerami, cozachodzi jedynie dla \(\displaystyle{ x=y=z=0}\).

Tu ma zastosowanie ten mem o trudnym zadaniu z matmy z waleniem w przycisk z napisem: "liczę deltę". Nierówność można zapisać w postaci \(\displaystyle{ At^2+Bt+C>0}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest dowolną ze zmiennych \(\displaystyle{ x,y,z}\), zaś \(\displaystyle{ A>0}\). Jeżeli policzymy wyróżnik i przedstawimy lewą stronę w postaci kanonicznej, to możemy otrzymać różne równoważne zwinięcia w zależności od tego, którą ze zmiennych wybierzemy jako \(\displaystyle{ t}\).