Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierscieniem, a \(\displaystyle{ N}\) jego nilradykałem. Jak założenia, że \(\displaystyle{ R}\) zawiera dokładnie jeden element ideał pierwszy wynika, że dowolny element pierścienia jest odwracalny albo niltpotentny?

Zakładam, że to pierścień przemienny z jedynką jest...
Poza tym składniowo treść zadania jest mało spójna skierowana bardziej na domysły niż na meritum...


Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych.
Jeżeli w pierścieniu jest tylko jeden właściwy ideał musi on być Nilradykałem i jednocześnie ideałem pierwszym.

Jeżeli:

\(\displaystyle{ a^n=0=a \cdot a^{n-1} \in N=P \Rightarrow a \vee a^{n-1} \in N}\)

Jeżeli jakiś element nie byłby nilpotentny oraz nie byłby odwracalny czyli:

\(\displaystyle{ x \in R \setminus P}\)

W związku z tym , że w tym pierścieniu jest tylko jeden ideał właściwy=P

to:

\(\displaystyle{ (x)=R}\)

czyli istnieje takie y, że:

\(\displaystyle{ xy=1}\) - sprzeczność...

arek1357 pisze: 14 kwie 2021, o 20:42
Jeżeli w pierścieniu jest tylko jeden właściwy ideał musi on być Nilradykałem i jednocześnie ideałem pierwszym.

W zadaniu mamy chyba założenie, że w pierścieniu jest tylko jeden ideał pierwszy, a nie że jest tylko jeden ideał właściwy?

Ogólnie nie jest prawdą, że jeśli pierścień ma dokładnie jeden ideał pierwszy, to ma dokładnie jeden ideał właściwy.

Rozumowanie tak czy owak się nie zmienia, bo jeśli pierścień ma jeden ideał pierwszy, to jest lokalny i każdy element nieodwracalny zawarty jest w nilradykale, a więc jest nilpotentny.

W zadaniu mamy chyba założenie, że w pierścieniu jest tylko jeden ideał pierwszy, a nie że jest tylko jeden ideał właściwy?

Tak założenia w zadaniu są mocno niejasne...