Strona 1 z 1
Rozwinięcie w szereg Laurenta
: 11 kwie 2021, o 18:38
autor: Karol14
Witam, mam problem z zadaniem, gdzie muszę rozwinąć w szereg Laurnera funkcję \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{(z-1)(z-2)}}\) w pierścieniu:
a) \(\displaystyle{ 1<\left|z\right|<2}\), b) \(\displaystyle{ 2<\left|z\right|<+ \infty }\), c) \(\displaystyle{ 0<\left|z-1\right|<1}\)
Problem polega na tym, że nie wiem nawet od czego mam zacząć.
Re: Rozwinięcie w szereg Laurenta
: 11 kwie 2021, o 20:19
autor: Janusz Tracz
Zacznij od zapisania
\(\displaystyle{ f}\) jako sumy ułamków prostych. Potem zidentyfikuj bieguny
\(\displaystyle{ f}\). Potem stosując wzór na sumę szeregu geometrycznego rozwijaj poszczególne ułamki proste tak aby ich rozwinięcia obowiązywały na interesujących Cię obszarach. Przykładowo w
\(\displaystyle{ (a)}\) powinno wyjść coś takiego:
\(\displaystyle{ f(x)=\underbrace{ -\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{z^n}{2^{n+1}} }_{\text{ część analityczna związana z } \left| z\right|<2 }+\underbrace{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{z^n} }_{\text{ część osobliwa związana z }1<\left| z\right| }}\)
sztuczka polega na tym, że odpowiedni ułamek prosty zapisuje tak aby ostatecznie
\(\displaystyle{ f}\) dana takimi szeregami była określona na
\(\displaystyle{ 1<|z|<2}\).