Matematyka.pl

Cześć!

Mam polecenie, żeby zbadać z definicji, czy podany punkt jest granicą ciągu:

\(\displaystyle{ b = (1, 2) \qquad b^k = (\frac{3k^2 - 2k + 1}{k + 3}, \frac{k^2 - 1}{k^3})}\)

Normalnie licząc, widać, że nie jest, bo żadna współrzędna się nie zgadza.

Definicja:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0} \bigvee\limits_{N \in \mathbb{N}}\bigwedge\limits_{k > N} \qquad d(a^k, a) < \varepsilon}\)

Używamy w tych zadaniach metryki euklidesowej. Liczę odległość i dochodzę do takiego jej ograniczenia:

\(\displaystyle{ d(b^k, b) \leq \sqrt{18}k}\)

Ograniczam to jeszcze z dołu, żeby zapisać to za pomocą nierówności w drugą stronę pod kwantyfikatorami. Dochodzę do:

\(\displaystyle{ d(b^k, b) > 1}\)

Ta liczba mogłaby był trochę większa, ale to nie jest aż takie istotne.

Moje pytanie brzmi: jaki zaproponować bardziej konkretny \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), żeby uzasadnić, że ten punkt nie jest granicą ciągu?

Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję.

Można przyjąć \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4481}}{40} }\). Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ N\in\NN}\) kładziemy \(\displaystyle{ k=N+1}\) i będziemy mieli to co trzeba bo \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right) \ge \epsilon}\). Liczba \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{4481}}{40}}\) jest bowiem minimum \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)}\) określonego na \(\displaystyle{ \NN}\). Oczywiście niczego nie pokazałem formalnie ale wyrażenie
jest ograniczone z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{4481}}{40}}\), a wartość tą przyjmuje dla \(\displaystyle{ k=2}\). Jeśli pokazanie tego okazało by się zbyt problematyczne to zauważ, że dla każdego \(\displaystyle{ k\in \NN}\) ciąg \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)}\) przyjmuje wartości dodatnie. Ponad to \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)\not \rightarrow 0}\) zatem można brać \(\displaystyle{ \inf_{k\in\NN}d\left( b_k,b\right)}\) jako kandydata na epsilon istnieje i jest dodatnie.